机器学习笔记二矩阵的运算

矩阵的运算

2.1加法与数乘(线性运算)

1.加法定义:

设A=(aij),B=(bij)是两个m×n矩阵,令cij= aij+ bij,m×n矩阵C=(cij)称为A与B的和,记作C=A+B;(A和B元素对应相加)

2.数乘定义:

设A=(aij),是m×n矩阵,k为常数,令bij= kaij, m×n矩阵B=(bij)称为常数k和矩阵A的乘积,记作B=kA。(k乘以A的每个元素)

3.加法和数乘的性质:

1)A+B=B+A

2)(A+B)+C=A+(B+C)

3)A+0=A

4)A+(-A)=0

5)1×A=A

6)(hk)A=h(kA)

7)(h+k)A=hA+kA

8)k(A+B)=kA+kB

2.2矩阵的乘法

线性方程组的矩阵表示:AX = β,其中A是方程组的系数矩阵,X是未知数矩阵,β是常数项矩阵;

其他形式表示(ai表示系数矩阵的列):

1)x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+…+xnan=β

2)x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+…+xnan=AX

性质

若A的第i行是零行,则AB的第i行也是零行;若B的第j列是零列,则AB的第j列也是零列;

(AB)C=A(BC) A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA

K(AB)=(kA)B=A(kB)

注意:不满足交换律:AB≠BA,不满足传递律:AB=AC不能推出B=C。

方阵的乘方:设m是正整数,A是方阵,m个A的乘积称为A的m次方,记作Am。特别的A=I,A1=A。

方阵乘方的性质:

s和t是非负整数,则AsAt= As+t、(As)t= Ast;

A和B是同阶方阵,m是正整数,如果AB=BA,则(AB)m= AmBm。

2.3矩阵的转置

定义:设A=(aij)是m×n矩阵。对任意的i=1,2,3,…,m,j=1,2,3,…,n,令bij=aij,n×m矩阵B=(bij)称为A的转置,记为AT;(行变列或列变行)

性质:

(AT)T= A

(A+B)T= AT+BT

(kA)T= kAT

(AB)T= BTAT

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  • 原文链接https://kuaibao.qq.com/s/20180630G0CTAM00?refer=cp_1026
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