机器学习笔记二矩阵的运算

矩阵的运算

2.1加法与数乘（线性运算）

1.加法定义：

设A=(aij)，B=(bij)是两个m×n矩阵，令cij= aij+ bij，m×n矩阵C=(cij)称为A与B的和，记作C=A+B；（A和B元素对应相加）

2.数乘定义：

设A=(aij)，是m×n矩阵，k为常数，令bij= kaij, m×n矩阵B=(bij)称为常数k和矩阵A的乘积，记作B=kA。（k乘以A的每个元素）

3.加法和数乘的性质：

1)A+B=B+A

2)(A+B)+C=A+(B+C)

3)A+0=A

4)A+(-A)=0

5)1×A=A

6)(hk)A=h(kA)

7)(h+k)A=hA+kA

8)k(A+B)=kA+kB

2.2矩阵的乘法

线性方程组的矩阵表示：AX = β，其中A是方程组的系数矩阵，X是未知数矩阵，β是常数项矩阵；

其他形式表示（ai表示系数矩阵的列）：

1)x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+…+xnan=β

2)x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+…+xnan=AX

性质

若A的第i行是零行，则AB的第i行也是零行；若B的第j列是零列，则AB的第j列也是零列；

(AB)C=A(BC) A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA

K(AB)=(kA)B=A(kB)

注意：不满足交换律：AB≠BA，不满足传递律：AB=AC不能推出B=C。

方阵的乘方：设m是正整数，A是方阵，m个A的乘积称为A的m次方，记作Am。特别的A=I，A1=A。

方阵乘方的性质：

s和t是非负整数，则AsAt= As+t、(As)t= Ast;

A和B是同阶方阵，m是正整数，如果AB=BA，则(AB)m= AmBm。

2.3矩阵的转置

定义：设A=(aij)是m×n矩阵。对任意的i=1,2,3,…,m,j=1,2,3,…,n,令bij=aij，n×m矩阵B=(bij)称为A的转置，记为AT；（行变列或列变行）

性质：

(AT)T= A

(A+B)T= AT+BT

(kA)T= kAT

(AB)T= BTAT