深入讨论波的干涉和波的叠加

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运动学方程：

描述波上各个质点的位置随时间变化规律的方程，振动方程描述的是一个质点的位置随时间的变化规律，波形图描述的是同一时刻所有质点的位置。运动学方程则描述所有质点在任意时刻的位置随时间的变化规律。

假定波源的振动方程为：

波速为：

，波长为

，周期为

，频率为

。假设波向右传播，波源右方，距离波源

的质点需要经过：

的时间才开始振动。其振动情况只是与波源相比滞后了

时间。振动形式完全相同。就相当于把波源的波形平移到该点。因此该点的振动方程为：

由于：

带入消去

得：

令：

称为波数，它表示在

米内所包含的波长数。

于是有：

这就是简谐波的运动学方程，它能够完整的描述波上所有不同位置的质点，其位置随时间变化规律。当

取固定值时，它就是位于

处的质点的振动方程，当

取固定值时，它就是描述波上所有质点在

时刻的波形方程，即波形图。

波的干涉

一般叠加

假定有两列同频简谐波的波源

和

，振动方程分别为：

且两列波的振动方向相同。两列波在空间

点相遇，

点距离

和

的距离分别为

和

，两列波在

点相遇，它们在

点引起的振动方程分别为：

则

点的合振动为：

其中：

则：

其中：

为合振动的振幅。

由：

所确定。

现在我们来分析合振动的振幅：

即：

干涉

干涉加强

当相位差：

时：

最终求得合振动为：

其中：

可见两列波在

合成的新波也是简谐波，新波的振幅为两列波振幅之和，此时

点为干涉加强点。新波的频率和两列波相同，只是振幅和初相不同。

上面用的是相位差来表示振动加强的条件，现在改换为高中的波程差来表示。

某点

为干涉加强点的条件为：

点到两列波的距离之差：

由于：

故：

此即同平面振动的简谐波的干涉加强条件，它不要求波源同向振动或者反向振动，相位差可为任意值。

当两列波同频同步（同相位）振动时：

即：

注：

前面的负号有没有其实是一样的。

通常我们把

称为

到两波源的波程差。所以同频同步的两列波在空间某点

相遇时，如果

到两波源的波程差为波长的整数倍（也可以描述为半波长的偶数倍）时，

点是振动加强点。振幅最大，为两波振幅之和。

当波源同频异步（相位差为

）振动时:

即：

由于

可以取负值，故而也可以写成

这种写法和

完全相同，这几种写法都表示波程差为半波长的奇数倍。

结果显示，波源同频异步振动时，波程差为半波长的奇数倍反而是加强的。

干涉减弱

当相位差：

时：

可见两列波在

合成的新波也是简谐波，新波的振幅为两列波振幅之差，此时

点为干涉减弱点。新波的频率和两列波相同，只是振幅和初相不同。

下面我们仍然以高中常见的波程差来表示干涉减弱条件。

当两波源同频同步振动

将

带入到

同样的分析可以得出，如果满足：

由于

可取任意整数，有没有符号没有区别，故而也可以写成

即波程差为半波长的奇数倍时，

点为振动减弱点。振幅最小，为两波振幅之差的绝对值。

当两波源同频异步振动时

同理可得

此结论表明，当波源同频异步振动时，波程差为半波长的偶数倍时，反而为振动减弱点

干涉条件

由上面的分析可得两列波能发生干涉的条件是：

同频

相位差恒定

振动方向相同（指的是同平面振动）