局部指标理论

《中国科学：数学》在线发表华东师范大学刘博教授的56页综述“局部指标定理与Bismut-Cheeger η-形式”，介绍了局部Atiyah-Singer指标定理及其诸多推广, 并对Bismut-Cheeger η-形式的最新进展及其在微分K理论中的应用作了进一步的讨论。

Atiyah-Singer指标定理是20世纪最重要的数学定理之一，深刻体现了数学不同分支之间的内在统一性。到目前为止，指标定理比较经典的证明有三种：最早由Atiyah和Singer提出的配边理论证明，这一奠基性工作确立了定理的基本框架；随后发展的K理论证明从拓扑的角度给出了更佳的诠释；而热核证明则通过精细的解析方法，不仅证明了原定理，还导出了更强大的局部指标定理。这种局部化技术极大地拓展了指标理论的应用范围，使得我们能够对指标定理作更深入的推广，并能依此得到并分析更多更复杂的谱不变量——比如Bismut和Cheeger提出的η-形式(Bismut和Cheeger2021年共同获得了邵逸夫数学奖，他们所有合作的成果均与η-形式相关)。

η-形式在指标理论多个不同场景中以完全不同的角色出现：首先，作为η-不变量的高维推广，它在带边流形算子簇指标定理中自然地以边界项的形式出现；其次，在无边流形算子簇指标定理中，它又出现在超渡项；而在研究η-不变量的绝热极限时，它又作为余项显现。近年来，随着微分K理论的发展，η-形式更被证明在这一新兴领域中扮演着关键角色。

在《中国科学：数学》的长篇综述中，我们首先梳理了局部指标理论的起源与发展脉络，对其到目前为止的各种推广进行了讨论，然后对η-形式的主要性质及最新进展作了较详细的介绍。在这篇综述的最后，我们简要探讨了η-形式在微分K理论中的应用并引入了一些公开问题，以期展现局部指标理论的一个未来发展方向。

作者简介

刘博

华东师范大学数学科学学院教授，2013年博士毕业于南开大学陈省身数学研究所，研究方向为指标理论与流形上的整体分析，相关成果发表在Invent. Math., Adv. Math., Trans. AMS 等学术期刊上, 于2022年获国家杰出青年科学基金资助。