二进制没2，八进制没8，十进制却有10？你可能理解错了

准确地说，应该是：

在 N 进制中，最大的单个数字符号是 N-1。

当数值达到 N 时，就需要向高位进位，即满N进一。

比如，十进制：

N＝10，最大的单个字符是 N-1＝9。

当9再加1，达到N之后，向高位进一，变成10。

注意这里的“10”可不是十进制里的比9大的数字字符，而是代表十位为1，个位为0。

01

位值制

十位为1，个位为0，这是位值制，也叫位值记数法。

位值制是我们现在常用的、习惯的记数法。

核心规则是：

把数字写在不同的位置上，不同位置权值不同，那么数字代表的数值大小也是不一样的。

比如2486：

千位上是2，代表这里有两个千；

百位上是4，代表这里有四个百；

十位上是8，代表这里有八个十；

个位上是6，代表这里有六个一。

写成展开式就是2486=2×1000+4×100+8×10+6×1。

采用位值制表示数，我们只需要很少的数字就能表示很大的数。

而2486用罗马数字表示就是MMCDLXXXVI。

——很长对不对？罗马数字没有位值制，它们是累加制。

现在世界上基本都用阿拉伯数字。

阿拉伯数字其实源自印度，由阿拉伯商人传播到其他地方。

印度是有位值制的，而且基于十进制。

所以，今天大部分人都使用基于十进制的位值制系统。

习惯了十进制，谈其他进制是很陌生的。

以至于说到二进制、八进制，甚至五进制、十六进制，我们第一反应是它们满2，8，5，16进一。

然而，我们忽略了一个更重要的点：其实，其他进制的搭建，也基于位值制。

02

其他进制，也基于位值制

比如二进制。

100011，它是十进制的35。

左边第一个1，代表位值32，即2的5次方，这里有1个32；

第二个数字0，代表位值16，即2的4次方，这里有0个16；

第三个数字0，代表位值8，即2的3次方，这里有0个8；

第四个数字0，代表位值4，即2的2次方，这里有0个4；

第五个数字1，代表位值2，即2的1次方，这里有1个2；

第六个数字1，代表位值1，即2的0次方，这里有1个1。

只不过十进制的位值（权值）是个十百千万十万这些，它们分别是10的0次，1次，2次，3次，4次，5次方。

而二进制的位值是2的0－N次幂。

八进制，也基于位值制。

比如，十进制的156用八进制表示是234。

2，位值是64，也就是8的二次方，这里有2个64；

3，位值是8，也就是8的一次方，这里有三个8；

4，位值为1，也就是8的0次方，这里有4个1。

156＝2×64+3×8+4×1

用八进制表示就是234，取系数，系数背后是位值。

其他进制也是，比如三进制，五进制，道理一样的。

核心都是位值制+系数，跟十进制一样。

03

进位

十进制里，满十进一：

有9个一，再来一个一，进位成一个十。

有9个十，再来一个十，进位成一个百。

够十了，我们要进一，来到更大的数位。

就像装糖果：

十个一个小袋子，小袋子满十个了装一个小箱子，小箱子满十个再装一个大箱子……

在八进制中：

一开始散装糖果，一个一个的，到了8个，就8个糖果装一个小袋子。

8个糖果的小袋子有8个，再来到64个糖果的小箱子。

够八了，进到更大的单位。

而在二进制运算中，数值小，变化快：

有了两个1，够2了，就要进一；

有了一个2，再来一个，还要进一，来到更大的单位4。

比如，10+10（二进制）＝100。

用数学表达就是：

将权值2这里写成0，再将高位4这里写成1。

于是就是100（一零零）。

介绍了这么多进制，你有没有发现：

二进制，八进制是有2和8的，只不过2和8不是系数，而是权值。

十进制的十，也是权值，隐藏在后台。

而十进制里有10，这里的10不是系数，是一个十。

这里没有10这个数字（系数）——所以，你理解了吗？