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二分查找算法案列详解

1、前言

最近刷了很多二分查找相关的题目,这里将近期的收获做一个总结,包括二分查找的变形问题。如果能掌握,我相信以后基本上二分查找相关的问题对你来说,都不是问题。

2、二分查找的效率

二分查找是啥我想不用过多的说明。我们都知道二分查找的时间复杂程度是O(logN)。

O(logn) 查找速度有多快呢?我们来分析一下。

我们假设数据大小是 n,每次查找后数据都会缩小为原来的一半,也就是会除以 2。最坏情况下,直到查找区间被缩小为空才停止。

就因为这种特性,有的时候甚至比时间复杂度是常量级 O(1) 的算法还要高效。为什么这么说呢?

因为 logn 是一个非常“恐怖”的数量级,即便 n 非常非常大,对应的 logn 也很小。比如 n 等于 2 的 32 次方,这个数很大了吧?大约是 42 亿。也就是说,如果我们在 42 亿个数据中用二分查找一个数据,最多需要比较 32 次。

3、简单的二分查找

简单的二分查找我想大家应该都写过。但是想一次将二分查找写对估计10个人里面只有1个人能做到。下面给出题目和代码,我们具体来分析一下。

上诉代码可以作为一个二分查找的模板代码,我相信你能轻易的看懂这段代码。这里需要强调几个容易出错的地方:

1.循环退出条件:

注意是$low

2.mid 的取值:

实际上,$mid=($low+$high)/2 这种写法是有问题的。因为如果 $low 和 $high 比较大的话,两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将 $mid 的计算方式写成$low+($high-$low)/2。更进一步,如果要将性能优化到极致的话,我们可以将这里的除以 2 操作转化成位运算 $low+(($high-$low)>>1)。因为相比除法运算来说,计算机处理位运算要快得多。

3.low 和 high 的更新

$low=$mid+1,$high=$mid-1。注意这里的 +1 和 -1,如果直接写成 $low=$mid 或者 $high=$mid,就可能会发生死循环。比如,当 $high=3,$low=3 时,如果 a[3]不等于 value,就会导致一直循环不退出。

4、二分查找的变形

上面这种简单的二分查找大家基本上都会写,需要注意的就是几个容易出错的地方。争取这种简单的二分查找都是一次性通过。

我们平常很少会写这种简单的二分查找,这里我给出几种常见的变形的二分查找算法。我们来观察其通用性,掌握其技巧。

仔细看看上诉算法中,与之前的简单的二分查区别在哪里?

我们来分析一下。首先我们还是按照简单的二分查找来算。当找到指定值的时候我们不能直接放回结果。需要再判断一下,左边的元素与自身是否相同。不相同则返回结果。否则继续二分。

如果 $a[mid]小于要查找的值 $value,那要查找的值肯定在[$mid+1, $high]之间,所以,我们更新 $low=$mid+1。

对于 $a[mid]大于等于给定值 $value 的情况,我们要先看下这个 $a[mid]是不是我们要找的第一个值大于等于给定值的元素。

如果 $a[mid]前面已经没有元素,或者前面一个元素小于要查找的值 $value,那 $a[mid]就是我们要找的元素。这段逻辑对应的代码是第 7 行。

如果 $a[mid-1]也大于等于要查找的值 $value,那说明要查找的元素在[$low, $mid-1]之间,所以,我们将 $high 更新为 $mid-1。

5、总结

要想写好二分查找,首先我们必须保证充分理解最简单的二分查找算法。不熟悉的话多写几遍。

当遇到变形的二分查找。我们需要改动简单的二分查找代码。改动的点就在a[mid]与value的对比上加上相应的条件。

上面的两道变形的算法如果你多做几遍一定会有自己的体会。

最后,需要特别主义的还是那三个特别容易出错的地方:

1.循环退出条件:

2.mid 的取值:

3.low 和 high 的更新

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  • 发表于:
  • 原文链接https://kuaibao.qq.com/s/20201106A017OI00?refer=cp_1026
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