Stanford机器学习笔记-4. 神经网络Neural Networks (part one)

4. Neural Networks (part one)

Content:

  4. Neural Networks (part one) 

    4.1 Non-linear Classification.

    4.2 Neural Model(神经元模型)

    4.3 Forward Propagation

    4.4 神经网络实现与或非门以及异或门

      4.4.1 实现与或非门(AND/OR/NOT) 

      4.4.2 实现异或/同或门(XOR/XNOR) 

    4.5 Multi-class classification

key words: Neural networks, Neural model, Forward Propagation

4.1 Non-linear Classification

对于非线性的分类问题(如图4-1所示的非线性0-1分类问题),在特征量较少的情况,我们可以用多项式类型的Logistic回归来处理。但是一旦特征量较多,多项式的Logistic回归就会很困难。因为如果问题原有n个特征量,采用二次多项式特征量个数约等于(n^2)/ 2,也就是O(n^2),而用三次多项式特征量的个数更是O(n^3),等等。当n较大时(如n > 1000),计算机无法承受这么大的向量运算。所以需要一种新的模型(算法)来处理特征量较大的非线性分类问题。

图4-1 非线性0-1分类问题

那么什么问题会有较多的特征量? 计算机视觉(Computer Vision)领域就常常会遇到。我们知道,对于人类所看到的一张图片,在计算机里是以矩阵存储的。如图4-2所示,以要判别一张图片是否为汽车的问题为例,我们有一张像素为50*50的图片,即至少一共有2500个像素点()对于RGB的图片有7500个),所以特征量的个数n = 2500,如果用二次多项式预测,那么特征量个数将变成近3百万!这样计算代价太大了。下面将介绍一种新的模型-神经网络(Neural Networks),可以不需要通过增加特征量个数来解决非线性分类问题(当然它在其他问题也有应用)。

图4-2 判断一张图片是否为汽车

4.2 Neural Model(神经元模型)

神经网络是一种模拟大脑的算法。一种较正规的定义是

神经网络是由具有适应性的简单单元组成的广泛并行互连的网络,它的组织能够模拟生物神经系统对真实世界物体所作出的交互反应。

神经网络中最基本的成分是神经元模型(Neural Model)(又称Logistic unit),即上述定义中的“简单单元”。对于人类而言,我们的视觉听觉是由大脑的神经中枢产生。而神经中枢是由大量的神经元相互连接而成。一个神经元通过树突接受其他神经元传来的化学物质(信息),从而改变该神经元的电位,当电位到达某一阙值(threshold)时,该神经元被激活,即“兴奋”起来,从而通过轴突向其他神经元发送化学物质,如图4-3所示。

图4-3 生物神经系统中的神经元

而神经元模型便是模拟上述的神经元接受信息并传递信息的过程。如图4-4所示,神经元接收来自n个其他神经元传递过来的输入信号,这些输入信号通过带权重的连接进行传递,神经元接收到的总输入值将与神经元的阙值进行比较,再通过激活函数(activation function)处理以产生神经元的输出。

图4-4 从阙值角度理解的神经元模型

理想中的激活函数是图4-5(a)所示的阶跃函数,它将输入值映射为输出值“0”或“1”, “1”对应神经元兴奋,“0”对应神经元抑制。但是,阶跃函数具有不连续,不光滑(不连续可导)等不太好的性质,因此实际中常用Logistic回归中应用到的sigmoid函数作为激活函数。典型的sigmoid函数如图4-5(b)所示,它把可能在较大范围内变化的输入值挤压到(0, 1)输出值范围内,因此有时又称之为“挤压函数”(squashing function).

图4-5 典型的神经元激活函数(图片来自《机器学习》, 周志华)

图4-6 从偏移单元角度理解的神经元模型

4.3 Forward Propagation

4.2节已经学习了神经网络的最基本成分-神经元模型,下面将介绍如何用神经元搭建多层前馈神经网络(multi-layer feedforward neural)Forward Propagation算法

如图4-7所示,多次前馈神经网络有三部分组成,分别是输入层(input layer),隐藏层(hide layer),输出层(output layer)。隐藏层可以有,也可以没有,输入层和输出层必须要有。没有隐藏层的神经网络是线性的,只能处理线性可分的问题(线性可分问题从二维的角度就是分界线是一条直线,多维就是存在线性超平面将其分类)。一个没有隐藏层且输出层只有一个单元的神经网络就相当于线性的Logistic模型。

图4-7 一个含两层隐藏层的多次前馈神经网络

前向传播(Forward Propagation)算法就是利用已经训练出的连接权重(或称映射权重)和4.2节神经元模型中的输出公式(1)来计算出每一层每一个神经元的激活值(activation),最终得到输出层的激活值,也就是输出值.

图4-8给出了在一个具体的神经网络使用前向传播算法的例子,其中,激活函数是sigmoid函数g(x);

图4-8 一个使用前向传播算法(向量实现)的例子

4.4 神经网络实现与或非门以及异或门

4.4.1 实现与或非门(AND/OR/NOT)             

4.4.2 实现异或/同或门(XOR/XNOR)

在4.4.1小节中发现,实现与或非门只需要输入层和输出层,不需要隐藏层,也就是说与或非问题是线性可分的。但是,异或/同或却是非线性可分的,如图4-9所示。

图4-9 异或/同或问题

在数字逻辑中我们知道可以利用与或非门搭出异或/同或门,那是因为有如下运算法则,

a XOR b = ((NOT a) AND b) OR (a AND (NOT b));

a XNOR b = NOT (a XOR b) = (a AND b) OR ((NOT a) AND (NOT b))

既然我们用神经网络实现了与或非门,那么也有理由可以实现异或和同或门,图4-10以实现同或门为例(只需在同或门后加上一个非门实现了异或门)。

图4-10 实现同或门

4.5 Multi-class classification

对于多分类问题,在2.6节已经用Logistic回归模型讨论过了。现在用神经网络来处理。假设我们需要识别一张图片是行人,汽车,摩托车,还是卡车,也就是有4种类别。所以我们设计如图4-10所示的神经网络。由于一共有4类,所以该神经网络有4个输出单元,分别将其标号为1,2,3,4,对应行人,汽车,摩托车,卡车。每次预测输出的是一个4维向量。所以我们的训练集相比于Logistic回归模型要做改变,即每一个样例的结果y(i)也是一个4维向量且是[1 0 0 0 ]’, [0 1 0 0]’, [0 0 1 0]’, [0 0 0 1]’中的一个。至于预测时的结果分析和Logistic回归模型中使用的One-vs-all类似,不再重复。仅给出例子如下:

  • 若h = [0.12 0.71 0.13 0.45]’,则就相当于[0 1 0 0]’,故为第二个输出单元的标记,也就是汽车;
  • 若h =[0.12 0.64 0.83 0.21]’, 则就相当于[0 1 1 0]’,此时我们选择置信度最大的,也就是max h = 0.83,即第三个输出单元的标记,也就是摩托车。

不管怎样,都是选择向量中最大的一个元素的标记(下标),即matlab中的max(h, [], 2).

图4-11 一个处理4分类问题的神经网络

参考:

《机器学习》 周志华

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