数据结构和算法——二叉树

二叉树是使用较多的一种树形结构,如比较经典的二叉排序树,Huffman编码等,都使用到了二叉树的结构,同时,在机器学习算法中,基于树的学习算法中也大量使用到二叉树的结构,因此,我们有必要对二叉树的结构有比较详细的了解和掌握。

一、二叉树的基本概念

1、二叉树的概念

二叉树(Binary Tree)是包含nn个节点的有限集合,该集合或者为空集(此时,二叉树称为空树),或者由一个根节点和两棵互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。

一棵典型的二叉树如下图所示:

由上述的定义可以看出,二叉树中的节点至多包含两棵子树,分别称为左子树和右子树,而左子树和右子树又分别至多包含两棵子树。由上述的定义,二叉树的定义是一种递归的定义。

2、一些常见的二叉树

  • 满二叉树

对于一棵二叉树,如果每一个非叶子节点都存在左右子树,并且二叉树中所有的叶子节点都在同一层中,这样的二叉树称为满二叉树。

一棵满二叉树如下图所示:

  • 完全二叉树

对于一棵具有nn个节点的二叉树按照层次编号,同时,左右子树按照先左后右编号,如果编号为ii的节点与同样深度的满二叉树中编号为ii的节点在二叉树中的位置完全相同,则这棵二叉树称为完全二叉树。

一棵完全二叉树如下图所示:

3、二叉树的一些性质

对于二叉树,包含一些性质:

  • 在二叉树中,第 ii层上至多有2i−12^{i-1}个节点(i≥1i\geq 1)
  • 深度为kk的二叉树至多有2k−12^{k-1}个节点(k≥1k\geq 1)
  • 对一棵二叉树,如果叶子节点的个数为n0n_0,度为22的节点个数为n2n_2,则n0=n2+1n_0 = n_2 + 1
  • 具有nn个节点的完全二叉树的深度为⌊log2n⌋+1\left \lfloor log _2 n \right \rfloor+1

二、二叉树的基本操作

1、二叉树的存储结构

若要想对二叉树进行操作,首先需要定义二叉树的存储结构,对于如下图所示的二叉树:

其对应的存储有两种:

  • 顺序存储结构
  • 链式存储结构

首先,我们来看顺序存储结构,简单来讲,顺序存储结构是指用一维数据存储二叉树中的节点,其中,数组的下标要能体现节点之间的逻辑关系,对于上述的二叉树,其顺序存储结构为:

在顺序存储结构中,“^”表示的是没有节点,从顺序存储可以看出,若出现大量“^”,则对空间是一种极大的浪费。

在二叉树中,每一个节点至多存在左右子树,因此在链式存储结构中,每一个节点的结构为:

其中,data 称为数据域,lchild和rchild称为指针域,分别指向左孩子和右孩子。

在实际使用中,根据不同的需要,使用顺序存储结构和链式存储结构。对于链式存储结构,我们定义如下:

typedef struct BiNode{
        int data;// 数据域的值
        struct BiNode *left;// 左孩子
        struct BiNode *right;// 右孩子
}binode;

2、二叉树的遍历

在二叉树的操作中,二叉树的遍历是基本的操作,对于二叉树的遍历操作,主要分为:

  • 前序遍历
  • 中序遍历
  • 后序遍历
  • 层次遍历

对于前序遍历,首先遍历根节点,其次遍历左孩子,再遍历右孩子,按照如此的顺序遍历整棵树,其代码如下:

// 先序遍历
void pre_order(binode *p){
        if (p != NULL){
                printf("%d\t", p->data);
                pre_order(p->left);
                pre_order(p->right);
        }
}

对于中序遍历,首先遍历左子树,其次遍历父节点,最后遍历右子树,按照如此的顺序遍历整棵树,其代码如下:

// 中序遍历
void in_order(binode *p){
        if (p != NULL){
                in_order(p->left);
                printf("%d\t", p->data);
                in_order(p->right);
        }
}

对于后序遍历,首先遍历左子树,其次遍历右子树,最后遍历父节点,其代码如下:

// 后序遍历
void post_order(binode *p){
        if (p!= NULL){
                post_order(p->left);
                post_order(p->right);
                printf("%d\t", p->data);
        }
}

对于层次遍历,需要使用链表存储每一层的节点,同时,遍历完一个节点,将其左右子节点增加近链表中,其代码为:

// 层次遍历
void lever_order(binode *p){
        // 使用队列
        list<binode *> t;
        if (p != NULL){
                t.push_back(p);
        }

        while (t.size() > 0){
                printf("%d\t", (t.front())->data);
                if ((t.front())->left != NULL){
                        t.push_back((t.front())->left);
                }

                if ((t.front())->right != NULL){
                        t.push_back((t.front())->right);
                }
                t.pop_front();
        }
}

最终的遍历结果为:

参考文献

  • 《大话数据结构》
  • 《数据结构》(C语言版)

本文参与腾讯云自媒体分享计划,欢迎正在阅读的你也加入,一起分享。

发表于

我来说两句

0 条评论
登录 后参与评论

相关文章

来自专栏java学习

让你更好的理解什么是二叉树?

二叉树 6.2.1 二叉树的概念 二叉树(Binary Tree)是结点的有限集合,这个集合或者为空,或者是由一个根结点和两颗互不相交的分别称为左子树和右子树的...

845110
来自专栏章鱼的慢慢技术路

笔试常考题型之二叉树的遍历

19440
来自专栏F_Alex

数据结构与算法(八)-二叉树(斜二叉树、满二叉树、完全二叉树、线索二叉树)

前言:前面了解了树的概念和基本的存储结构类型及树的分类,而在树中应用最广泛的种类是二叉树

12720
来自专栏编程坑太多

HashMap 源码解析

13420
来自专栏琯琯博客

PHP二叉树(三):红黑树

32940
来自专栏用户画像

4.3.1 二叉树的遍历

所谓二叉树的遍历,是指按照某条搜索路径访问树中的每个结点,使得每个几点均被访问一次,而且仅被访问一次。

9520
来自专栏张俊红

数据结构—树与二叉树

之前谈到的线性表、栈和队列都是一对一的数据结构,但是现实中也存在很多一对多的数据结构,这篇要写的就是一种一对多的数据结构———树。全文分为如下几部分:

16130
来自专栏章鱼的慢慢技术路

笔试常考题型之二叉树的遍历

19150
来自专栏用户画像

4.3.2 线索二叉树

二叉树结点的各种遍历序列,其实质是对一个非线性结构进行线性化操作,使在这个访问序列中每一个结点(除第一个和最后一个)都有一个直接前驱和直接后继。

12120
来自专栏肖洒的博客

数据结构笔记(二)

栈是限定仅在表尾进行插入和删除操作的线性表。 队列是只允许在一段进行插入操作、而在另一端进行删除操作的线性表。

9830

扫码关注云+社区

领取腾讯云代金券