机器学习数据预处理：数据降维之PCA
机器学习数据预处理：数据降维之PCA
《实例》阐述算法，通俗易懂，助您对算法的理解达到一个新高度。包含但不限于：经典算法，机器学习，深度学习，LeetCode 题解，Kaggle 实战。期待您的到来！
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回顾
到现在，已经总结了机器学习的：
- 回归算法之最小二乘方，脊回归，套索回归；
- 分类算法之逻辑回归，决策树分类，朴素贝叶斯决策，半朴素贝叶斯决策
- 聚类算法之高斯混合模型，解决这个模型选择了期望最大算法（EM算法）
- 介绍的以上算法都带有详细的原理介绍，例子阐述，代码实现（大部分都是自己编写不掉sklearn的包）
体会了机器学习的基本回归，分类，聚类到底是怎么回事后，该到了分析喂给这些算法的数据了，我们在之前介绍这些算法时，往往用到的数据都是已经预处理过的，比如做了归一化处理，做了降维处理等等。数据预处理做的好与坏，对我们最终问题的求解也是至关重要的，因此也是机器学习学习中的重要一个环节。
废话少说，下面介绍一个数据预处理常用的方法：数据主成分分析，简称PCA。
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数据主成分分析的背景
现实中，我们要研究某个问题，比如预测一只股票的价格时，我们不想忽略每一个可能的影响因素，所以初步划定了100个影响股票价格的特征，再分析最近五年的这只股票的价格数据。这样多维度，大样本，会为预测股票的价格增加更多的筹码。
但是，这么多的维度一来给分析带来不便，二来某些维度可能存在相关性，从而增加了问题分析的复杂性。
为了解决这个问题，想到以下几种办法：
- 分别对每个指标进行分析。但是这种分析是孤立的，不能看到全貌。
- 减少维度。但是如果是盲目的减少，会损失很多有用的信息，进而产生错误的结论。
- 抓住主要成分。既避免了方法1的孤立分析，也解决了方法2的损失有用信息的问题，可以说它是最好的，这就是PCA做的事情。
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什么是数据的主成分
要做主成分分析（PCA分析），首先要弄明白什么是主成分吧，什么又不算是主成分，即次要成分。
为了说明什么是数据的主成分，我们看下面的这个表格，它是某校高一101班期中考试三门主科的考试成绩单，显示了前3位学生的分数，可以看到语文都是110分，数学和外语三位同学的考试分数差距比较大。现在要根据这三门课程对这三位同学排名次，显然影响名次的特征有3个，那么这3个特征中哪些是主要影响排名的特征，哪些不是主要影响排名的特征呢？
我们几乎一眼就能看出，语文不是影响排名的主要特征，因为他们考得一样多，所以语文分数这个特征对最终排名的影响可以忽略；可以看出数学和外语分数才是拉开差距的特征。
因此，数学和外语分数，这两个特征，便构成了影响排名的主要成分，而另外一个特征：语文分数，是可以忽略掉的成分。
为了最直观的说明什么是数据的主成分，我们列举了这个有些极端的例子，因为3位同学的语文成绩是一样的，所以是可以忽略掉这个特征的。但是实际上后面几十位同学的语文成绩的差距还是有一些的，所以还是要考虑一下语文成绩。
在这里说到了一个概念：差距，如何定义这个差距变量，其实它就是数据的方差，可以看到这3位同学的语文成绩平均值为110分，方差为0，我们说这个特征可以忽略，相对的，数学和外语能拉开差距，不是因为平均值高或低，而是因为差距即方差大，成绩分布的相对散开，所以选取数学和外语作为主成分、主特征。
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如何选择主成分
承上，我们先从一个很容易理解例子开始，阐述了主成分选取的一个考量指标：某个特征的方差，方差越大，我们越会倾向于这个特征；相对的，方差越小越不可能趋向它。
但是，这种理解有一点偏差，好像根据这个例子给我们一种感觉：主成分分析是一种简单的从 n 个特征中，根据特征的方差从大到小选择 k 个特征的过程。这样理解是不准确的，其实PCA分析后选择的 k 个特征很可能不是原来的 n 个特征中的几个。
那么到底如何确定最终的几个特征呢？ 根据以上的分析，主要还是得从特征的方差下手，经过数据去均值，得到数据的协方差矩阵（方差和两两特征间的相关系数），选取特征向量，和数据投影到特征向量矩阵中。如何通俗易懂但不失严谨性地理解PCA操作的过程，请看明天的推送。谢谢您的阅读！