大话脑影像系列之三：趣谈散点图与相关系数

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最近不少读者对高大上的机器学习，动态脑网络，曲面形态指标共变网络感到爱不起，针对于此，我们特别推出一些基本的做脑功能的概念讲解，希望大家一步一步来，年轻人，不要动不动想一步登天，识得唔识得啊？

那今天我们就谈谈这个相关系数…….

说起相关系数，从字面上的含义就可看出，就是两个信号之间的相关性。但是你真正理解内在的机理吗？

结论放在最前面：相关系数，其实就是通过散点图来的。

学会散点图，此生无憾！

所有的一切，由这个图说起：

图1：Ref: JamesAH, BMJ, 1995, 311: 1668.

有一个人，他测量了一组人的“量表”。其中这个“量表”包含着年龄和耳朵长度。这样子他就得到一个二维小表格如下图示：

图2：萌萌哒的二维量表小表格

然后他在坐标纸上面进行打点，X轴坐标设置为年龄，y轴坐标设置为耳朵长度。然后每一行就是一个点，也就是说：每一个点对应着一个被试信息。

紧接着，他就拿手来比划，画出一根能最好拟合这个散点趋势的线（拟合或最小二乘法）。这样他就发现：年龄越大，耳朵越长。Ps：怪不得如来佛耳朵如此长，连起来可以绕地球一圈。

图3：散点图与拟合线（橙色），左：正相关；中：不相关；右：负相关

其实我告诉你，现在这根橙色拟合线的趋势就是相关性。如果这根线是朝着右上角走，就是正相关；如果这根线是朝着右下角走，就是负相关；如果这根线水平，就代表着不相关。

但是理想很美好，现实很残酷。真正拿到数据进行计算相关系数，多多少少会存在一定的相关性，真正不相关的例子太少太少，（比如你和思影科技，你来参加培训，于是我们就相关了，培训信息还是老规矩翻看历史信息或简单粗暴的点击阅读原文，你没看错，此处还是广告，惊喜不惊喜？意外不意外？）。前一阵子有一篇文章说：中国三峡大坝是影响日本地震的原因。该文说这个相关性还是非常非常显著的。

那么问题来了：相关系数的计算怎么会有显著性呢？

多图警示！

我做了一堆图，上面的这个例子取得不够恰当，我应该让这些图拟合的斜率是一致的（相关系数一致），但是不要在意这些细节。小伙伴们有没有看到图上的P值，那个p值就是相关的显著性。我们可以很轻松的发现：只要散点的点，越靠近拟合曲线，那么显著性越强。散点越分散，显著性越差。

以上几点细节部分特此做一个说明：

1、画散点图的时候，有白点，有黑点。图中的白点是剔除的，黑点是选取的。

2、剔除点是根据三倍方差以上的点进行剔除（图中色彩斑斓的圈，就是n倍方差边界线）

3、相关系数和斜率存在一定关系，可以说，斜率越靠近1，相关系数越大。（相关系数取值-1~1），其中0代表不相关，1代表正相关，-1代表负相关。

4、最佳拟合线的画法：在这里三种方法是等价关系，得到的数值是一样的。（最小二乘法 = 一次拟合 = 一次回归）

5、本文所指相关，指代皮尔逊相关，

没错就是他：卡尔·皮尔逊

（眼神里透露着浓浓的英伦学者风，一口倍地道的伦敦腔“May I help you,sir?）

不对，应该是它：

其中：

皮尔逊相关ρ，协方差Cov(x,y)，标准差σx σy

注：在公式内并无显著性水平计算，显著性解释是作者领悟的。在matlab中，计算相关系数是有显著性输出的。此显著性并未通过多重比较较正。有关校正，敬请看后面推送。

现在说了这么多，让我来告诉你，一些在脑科学领域用散点图来解释的本质：

1、功能连接：功能连接最早的定义就是皮尔逊相关，而功能连接就是两个脑区时间点的散点图

2、结构上的协变连接：协变连接是用得最早的，在磁共振出现之前，前人研究PET(PET表示高贵的我，一般人做不起)就是采用协变连接。简单说，就是A、B两个脑区之间的散点图。

3、回归：有没有发现回归也是这样子的？