神经网络-感知器

1986年，Rumelhart，Hinton，Williams受到医学界人脑神经网络的启发，提出了神经网络，从神经网络发展出的深度学习，更是成为了当前热点，在科研与商业领域占据重要位置。现在我们就从神经网络中最基本的感知器开始，一起揭开神经网络的神秘面纱。

感知器结构

下图展示了感知器的基本结构：

• 输入结点。表示输入属性。输入信号X是一个n维向量，n表示记录的特征数量，向量X各个维度上的分量即对应特征的值。
• 输出结点。是一个数学装置，提供模型输出。包括加权求和和激活函数两部分。
• 权重W={ω1, ω2, … , ωn}。每个输入结点通过一个加权的链连接到输出结点。权重用来模拟神经元间神经键的链接强度。
• 输出信号y。输出结点通过计算输入的加权和，加上偏置项b，根据激活函数产生输出。

感知器数学表达式

感知器模型可用如下数学式表示：

其中，

为激活函数，常用的激活函数有：ReLU，tanh，sigmoid，sign等。训练一个感知器模型，相当于根据数据不断调整权重和偏置，使得总误差尽量小。

为了使公式表达更加简洁，b可以写成权重与x分量相乘的形式，即b=x0*ω0，其中ω0=b，x0=1。因此，感知器模型可以更简洁的表达为：

感知器模拟布尔函数

布尔函数指输入与输出的取值范围都在{0,1}内的函数。现有如下数据集，包含三个布尔输入变量和一个输出变量，当三个输入变量中至少有两个为0时，y取-1，当输入变量至少有两个大于0时，y取1。

当各输入结点到输出结点的权重全部取0.3，偏置取-0.4时，使用符号函数sign()作为激活函数，则可用如下感知器公式来模拟此布尔函数：

将数据集中每条样本带入上述公式，可以发现，均可满足相应结果。

训练感知器模型

训练阶段，就是调整参数使得输出和样例的实际输出一致。最重要的部分就是根据旧权重和每次计算的误差，调整得出新权重。

算法流程

step1

D={(xi,yi)|i=1,2,…,n}为原始数据集
ω(0)={随机初始化权重向量};
step2
repeat
for 对于每个样例(xi,yi)  {
    计算预测输出y*
    for 每个权值ωj  {
  ωj(k+1) =ωj(k) +λ(yi-y*(k))xij    （1） 

    }
}

满足终止条件结束repeat

λ为学习率，ω(k)是第k次循环后第i个输入的权值向量，xij是xi第j个属性值。从权值更新公式（1）中可以看出，新权值等于旧权值加上一个正比于误差的值，如果预测正确，权值不变；如果(y-y*)>0，则要提高正输入的权值，并降低负输入的权值来提高预测输出值；如果(y-y*)<0，则要降低正输入的权值，并提高负输入的权值来降低预测输出值。

为了控制权值每次的改变量，以免使得前面的调整失效，λ控制在0-1之间，越接近0新权重受旧权重影响越大，越接近1新权重受误差影响越大。在一些情况下可以使用自适应的λ，即前几次循环时λ相对较大，后面循环中λ逐渐减小。

使用限制

感知器的决策边界是一个超平面，对于线性可分问题，可以收敛到一个最优解，如果问题不是线性可分的，那么感知器算法不收敛。