如何用数学知识提升情商?数学学霸们的6大思维习惯

选文校对|Aileen 翻译|房欣如 周冲

大数据文摘编译作品,转载具体要求见文

引言:成为一名“数学学霸”显然不是一件轻松的工作,不仅需要“高智商”的支持,还一不小心就被套上了“情商低”“Nerd”的“帽子”。

别怕!事实上,除了具体的公式、求证,数学学习中涉及的思维方式在日常生活中也能够派上大用场!

本篇文章用大量实际案例告诉你,数学学习中get到的这6大技能不仅仅可以帮助你思考发杂而多元的问题,也能够帮你培养成功所必须的情商。

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为什么要学习数学?

学生在学数学时最常见的问题是“我到底什么时候能用到我学到的知识?”。除了学数学可以让你非常擅长遵循明确方向的指导之外,许多数学老师也很难给出一个统一的答案。他们会说“慎思明辩”,但这并具体。同时,相同的老师也可能还会一本正经的告诉他们的学生反正弦函数的倒数是很重要的。

所以我也列了一个清单。学数学的学生正在被正确地教导这些具体而明确的技能,在他们生活中,在数学之外领域里,就可以派上用场。数学家每天需要使用其中有些技能去思考复杂而多元的问题。其他的是社会性的,是如果想在一个领域取得成功所必需的情商。所有这些都以其最纯粹的形式,在数学的领域里被学习。我的清单如下:

1.讨论事情的定义 2.提出例子和反例 3.经常犯错但勇于承认 4.评估一项主张的所有可能推论 5.梳理一项主张的前提条件 6.缩放抽象的梯度

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讨论事情的定义

数学家获得的最基本的技能是对定义的流动性。这项技能实际上比听上去有着更多地内容。我的意思是,数学家在用词中执着于使用的每个词都是最好的,最有实用意义的。数学家需要清晰的逻辑思维,因为他们研究的领域是可以被明确证明或者否定的。如果一件事情能够“明确地做到”,那么它必须是可以被明确定义的。

让我先从一个数学例子开始,这个例子和现实生活有一些关联,这个词是随机。随机概念一直困扰着它最近的数学历史地位,因为它难精确地定义一个事件是否是随机的。统计人员处理这个难题时可能会说事情不可能是随机的,但是过程可以是随机的,并且你可以定义一个事情发生的概率作为这个过程的结果。这是一个非常简短的概述,但它几乎是整个统计学的基础。

然而它不是随机性的唯一定义。因为我们直觉地想说,例如,在一次掷硬币过程中得到20次正面比得到HTHHTHHHTTTHTHHTHHTH更不随机。数学家发现这种情况,认为随机性的统计定义是不够的,并且发明了一种叫做Kolmogorov复杂性定义。粗略的说,如果产生这个事件的最短计算机程序和事件的描述一样长,这个事件就被称为Kolmogorov随机。这里使用的“计算机”是一个纯粹的数学定义,这个定义发生在生产真正的计算机(阿兰·图灵发明)之前。通俗地说,一个Kolmogorov随机事件要求事件本身的描述能够完全被写成源代码,用电脑程序去模拟它。

Kolmogorov 复杂性已发展为数学和计算机科学的一个引人入胜的部分,但它不是故事的结尾。冒着深入研究过多细节的危险,数学家发现对于大多事件,Kolmogorov复杂性是不能被计算的。所以,把它应用于非理论问题是非常困难的。数学家们希望有一个定义可以描述看起来随机的数字;并且,为了实际应用的目的能足够随机,但在Kolmogorov意义上的又是高度非随机的。其结果就是“机密安全随机性(cryptographically secure randomness)”的当前定义。

不严格来说,密码学意义上的随机性意味着不存在有效的电脑程序,使得区分伪随机和真实的随机事件(统计学意义上的)的概率能显著超过50/50猜测。这是保证你的数字已经足够随机,你的敌人将无法预测你下一步将使用哪些数字,因为你的敌人所需要的计算时间不会短于他的寿命。这是现代密码学的基础,工程师开始把关后,现在的系统保护着我们的互联网通信安全和私密性。

所以,数学家们花费了很多时间在思考定义,影响着我们如何在现实世界中使用数学。当然我不是主张教每一个人数学。让每个人都冥思苦想定义,在现实生活中又有什么好处呢?

现在是时候讨论一些现实的例子了。第一个例子是基思·德夫林,数学家和顾问,被要求在911后帮助一些美国国防机构改进他们的情报分析。他描述了第一次给满屋子的国防承包商作报告时的情况,他通过讨论对“情境”这个词的精确定义开始了他的演讲。我节选了他的文章,强调一些重要的部分。

当我启动了我的PPT幻灯片投影时......我确信,这组人会中途阻止我,让我乘下一班飞机回到旧金山,而不是浪费他们更多的时间。在活动现场,我确实没有翻过幻灯片的第一页。但不是因为我被赶出去了,而是那次报告的其余时间都花在讨论出现在第一张幻灯片上的内容...事后,有人告诉我“这一张幻灯片充分展示了你应该参与这个项目的合理性。”

所以我做了什么?从我的角度来看,什么都没有做。我的任务是找到一种方式,分析“情境”如何影响着数据的分析和在涉及军事,政治和社会领域的高度复杂的情境中的推理。我走出了(对我来说)很明显的第一步。我需要写下来精确的数学定义,尽可能定义“情境”是什么。它花费了我几天的时间...我不能说我完全满意...但是我已经尽力做到最好了。并且它至少给了我开始开发一些基本的数学思想的坚实基础。

这一群相当聪明的学者,国防承包商和国防部高级人才,花了整个分配给我的时间段来讨论一个定义。这场讨论导致所有不同领域的专家们对“情境”有着不同的概念 – 真是一场灾难。

首先,我问了他们一个问题:“什么是情境?”。因为房间里的每个人除了我都对“情境”这个概念有一个良好的认识(我刚才说到了,不同的认识),他们从来没有想过写下一个正式的定义。这不是他们所做工作的一部分。其次,通过给他们展示“情境”的正式定义,我给了他们一个共同的参照点,他们可以比较和对比自己的观念。我们已经开始避免灾难了。

作为一个数学家,德夫林没有不同寻常。事实上,一个数学家在遇到一个新的话题时最常见的问题是,“这个词是什么意思?”

作为国防情报顾问,虽然德夫林的具体例子非常专业,但他的这种机能却是普遍的。这其实就是我们所说的“慎思明辩”的基础之一。一个也许会忽略数学思维的普通民众,在听到新闻里政治家说“我们拥有伊拉克有大规模杀伤性武器的有力证据”时,如果他们有一个良好的数学教育,他们将会问:“有力的证据和大规模杀伤性武器究竟意味着什么?”。然后,关键的后续问题是:他们所提供的定义是否就意味着发动战争这种应对方式就是合理的?如果你不理解这个定义,你就不能够做出明智的投票决定。(当然,如果你只是把新闻当成娱乐,或者你是政治俱乐部的一员,事实对你而言无关紧要)

每个人都不得不应对新的定义,无论是“婚姻”和“性别”的新定义,还是“意图”,“合理”或“隐私”的合法的新定义。作为一名经验丰富的数学家将很容易注意到,政府并没有 “宗教”的有效定义。能够慎思明辩地思考定义是明智交谈的基础。

典型的数学学生早在本科就开始勤于思考定义,并且通过研究生阶段和一段研究生涯,他们对开发这种技能越陷越深。数学家通常每天遇到新的定义,有小范围的定义,也有大范围的。能够通畅的讨论定义可以使所有人受益。

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举出例子和反例

让我们在非正式场合实践定义。“反例”的意思是用于表达事情不对的例子。例如,数字5就是“10是一个素数”这句话的反例,因为10可以被5整除。

对于各种主张,数学家花费了大量的时间想出例子和反例。在这一点上,以下两种方式与之前提到的有关定义的内容通紧密相连。

1.通常情况下,当想出一个新定义时,这个人会有一组希望此定义会遵循的正例和反例。所以例子和反例帮助指导这个人建立好的定义。

2.当遇到一个新的已经存在的定义时,每个数学家想到的第一件事情就是写下能帮助他们更好理解定义的正例和反例。

然而,例子和反例不仅仅限于对定义的思考。它们帮助人们对主张做出评估和理解。研究数学的任何一个人都很了解这种模式,这种模式就是“推测和证明”。

这个模式如下所述。当你在解决一个问题时,你学习一些数学知识,并写下用这些知识你想证明什么。这是推测,就像是对你的研究对象的一个明智的(或无知的)猜测。然后是证明,在那里你试图证明或反驳了这一主张。

打一个糟糕的比方,假如你会猜测,地球是宇宙的中心。接着你找出一些例子说明你的猜测。在我们太阳系的例子中,也许你做了一个玩具模型认为地球是宇宙的中心,如果宇宙和玩具一样简单的话。或者你可以尝试去作出有关太阳和月亮一些测量并拿出证据,证明猜测是假的,实际上地球围绕着太阳。与数学上不同的是,“证据”是一个反例,而且它必须是可证明的,才可以被称为是“证据”。“证据”在数学上往往只是暂时的占位符,直到真相被发现,虽然对于一些高知名度的数学题,数学家们除了 “证据”外什么都没有发现,甚至是经过了上百年的学习之后。

这个比方糟糕的地方还有因为这种情况存在于数学的几乎微观层面上。当你深入一个项目时,你每个几分钟就会有一些新的小推测,并且大部分被否定,因为你后来意识到这些推测是很不明智的猜想。在一个不错的结果到来之前,你需要经历这数百个错误的假设。这是一个涡轮增压的科学过程。你在路边找到的反例就像路标。他们引导你未来的直觉,一旦他们在头脑中根深蒂固,就会帮助你相对轻松地接受或拒绝更复杂的猜想和问题。

再次,能够产生有趣和有用的例子和反例是有效对话的支柱。如果你曾经读过最高法院听证会的文字记录,例如一个关于囚犯因为宗教原因戴着胡子的合法性,你将会明白大多数的争论正在测试以前针对“合理”,“宗教”和“意图”建立的法律定义的例子和反例。这种思维也有着无数在物理,工程和计算机科学领域的应用。

但是,微妙的地方在于,数学家们在其职业生涯作出如此多错误的,愚蠢的,和虚假的猜想,他们反而最不容易因为强大的声音和文化上的假设而盲目地接受主张。如果作为一个集体的现代社会,我们认同,人们太愿意相信别人(比如,政治家,媒体“专家”,金融名嘴),那么学习数学是一种建立正确的质疑思维的古怪方式。这种方式不仅对工程师有用,对俢管工,护士和垃圾回收工一样有用。

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经常犯错但勇于承认

伊莎贝尔和格里芬两位数学家在黑板前讨论。伊莎贝尔认为这个主张是正确的,而格里芬认为它错了,他们争执得很激烈。但十分钟后他们竟然完全了转变立场!现在伊莎贝尔认为这是错的,而格里芬认为这个主张完全正确。

我经常目睹这种情况,但只在数学领域。因为只有当这两个数学家愿意承认他们的错误,并在意识到他们的说法有缺陷时敢于转变立场,这种事才可能发生。

有时我和四五个人一起讨论,只有我与他们意见不同 。但只要我论据充分,大家立刻就能承认他们错了,还不感到糟糕或是懊悔。当然更多的时候我和大多数人一样被迫撤回,修正,并且打磨我的那些老观点。

对我来说这种事情稀松平常,怀疑、出错、认错然后重新开始,这甚至将数学论述与人人称赞的科学论述区分开。不用处理P值,不用游说,和数学人讨论时你也不必担心你的名声。重要的只有对深刻见解和真理的追求。数学的习惯就是将你的骄傲与尴尬放在一旁,真理至上。

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评估一项主张的所有可能推论

斯科特·阿伦森曾写过一篇关于肯尼迪遇刺及其阴谋论的博文。文中他用数学思维评估这项主张:“肯尼迪遇刺是个大阴谋,中情局也一样”,他的论据直接了当,显然受到数学和计算机科学思维习惯的启发。 例如,

几乎所有关于肯尼迪的阴谋论一定都是假的,因为他们相互矛盾。一旦你意识到这点,并以他们中有一个是真的为前提来判断这些相互矛盾的阴谋论,你会发现你可以毫无阻碍地驳倒它们,这便是启蒙的曙光降临的时刻。

还有这段:

如果这项阴谋如此强大,为什么它没做一些更令人印象深刻的事呢?为什么仅仅是刺杀肯尼迪?为什么不是操控选举,从一开始就阻止肯尼迪成为总统? (在数学上,很多时候你发现你的论点出错的方式是意识到这个论点会带来远多于你出发点的信息。 然而我读过的每一个阴谋论都存在这个问题。例如,成功刺杀肯尼迪后,难道这个阴谋就此散伙了?它有策划其他暗杀吗?如果没有,为什么不?难道不应该继续拉动操控世界的傀儡线吗?如果这项阴谋有界限的话,它又是什么呢?)

事实上,探索一个主张的极限就是数学家的面包和黄油。这是评估一项主张正确性最简单的高级工具之一,你无需深入那些细枝末节。事实上,它也可以作为一个试金石来判断哪些论点值得你详细了解。

有时一个论点的极限可以引出一个更好,更优雅的定理,它还包括原始的主张。当然更多时候你只是意识到你错了。所以这个习惯其实是经常犯错并想出反例的一个非正式说法。

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梳理一项主张的前提条件

数学也有一个令人遗憾的特点,那就是它充满着不确定性。虽然我们喜欢把数学当做严谨的化身,而且我觉得这也没错,毕竟数学的历史已经超过百年。但即便如此,数学的过程,也就是学习已有的理念或者发明新的理念这个过程,它不仅仅是生硬的严谨的推理,更多的是人与人的交流。

由于数学的这个特点,当有人大声提出一项数学主张时,他们通常采用最容易理解的措辞来传达这项主张的核心思想。虽然你可能完全想不到数学人的用词,尤其是当两个数学家交谈时,你作为一个局外人便很难理解。

在这样的情况下,你就该多花点时间问基础的问题了。比如说,“在这个语境下这些词是什么意思?”,“哪些明显的尝试已经可以排除了,为什么?”要想更深入一点,你可以问,“这些开放式问题为何重要?”还有,“他们认为这种探究导向何方?”

这些都是数学家了解问题的方法。总之就是要把一团乱麻的一丝一毫都理清,要知晓每个主张的前提条件。这与世界上的其他论述方式截然不同。

例如,在充满争议的2016美国总统大选中,谁试图深入了解过唐纳德·特朗普的世界观?大多数自由主义者只听到,“我要建立一堵墙,还得是墨西哥买单”,于是便嘲笑他是个疯子。而如果用数学方式对待这个主张,你会先去了解它来自哪里。特朗普吸引着哪些选民?在移民问题上,他排除了哪些其他方案,为什么?对他的支持者来说,为什么移民问题如此重要,他这样回答是出于怎样的前提条件?他的出价如此成功,是什么因素在发挥作用?

当然我并不是在陈述自己的政治立场,我只是指出,当一个数学家面对一团乱麻时,梳理前提条件是必不可少的。“自由媒体低估了特朗普”的很大一部分原因在于不去回答这类问题。相反,它们不断传播特朗普那些误导的言论,还希望这就能攻破特朗普支持者们的防线。如果民调数据可信,媒体的这一招这可不是很有效...

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缩放抽象的梯度

讨论数学人最后的习惯之前,我要从布雷·维克多那里借用“抽象的梯度”这个概念。也就是推理时,你可以用很多不同分辨率(这里维克多指梯度)去看待同一个问题。在维克多的例子里,如果你正在设计一个汽车驾驶算法,你可以用最清晰的分辨率,也就是写一个算法并在每次执行中研究它的行为。(如果想了解更多,请阅读布雷·维克多的原文http://worrydream.com/LadderOfAbstraction/)接着缩小放大倍率,你可以用滑动圈控制算法的不同参数(和时间),你可以将一种算法纳入一系列可调整的算法。你还可以进一步归纳,利用可调整的参数和行为搜索所有可能的算法。在这个过程中,你在寻找一种小放大倍率下的模式,它可以实现你的最终目标:在最低梯度(最粗分辨率)设计出一个完美的驾驶算法。

数学家们定期进行缩放,尤其是在研究生院的后期,当你需要学会阅读大量的研究论文时。这时你没有时间深入了解每个符号或每个主张,你只需要了解足够重要的论文。你需要制定一个抽象梯度:最低梯度是定义、定理和例子,下一梯度是论文的整体论述,再下一个是相关论文和更广泛的数学背景,最高梯度是该领域的整体趋势,哪些东西是重要的或流行的等等。

你可能会从最低梯度开始,通过一些例子开始来大概理解一个定义,然后你跳到这篇论文的主要定理,明白它为什么是对前人工作的巨大提升 。他们可能会用到一些50年代的技术,而你还不熟悉那个领域,但没关系,你只要知道他们用的理念,把它当做一个黑匣子去理解这个定理的高层次证明,你只需要一步登一个阶梯。然后你去看公开问题部分,看看还有哪些工作没做,如果它很吸引人,你便可以仔细阅读论文的其余部分了。

确实,当数学家们谈论自己的工作时,他们就必须自己锻炼缩放梯度的那部分肌肉。因为观众分很多种,他们能在不同分辨率下理解同一个数学理念。有时在一种情境下用“竞争博弈”能最清楚地解释一些定理,有时在另一种情境下“最优化问题”比较好,还有些时候“类比到冶金领域”会更好理解。

数学的很大挑战便是整合所有梯度下的信息,把这些信息转换成一个连贯的世界观,在此世界观下你可以随意放大和缩小。维克多的概念就是一个强大的用户界面,它使健身变得更容易。然后数学家们用各种各样的方式练习。不过无论通过哪种方式,最终的目标都是有价值的。

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结语

我并不想暗示培养数学人的这些习惯一定是件好事。在现实世界中,很多这些习惯都是双刃剑。任何一个经历过本科数学教育的人多少都认识几个极客(或本身就是极客),他们经常指出X说法在Y这种特殊情况下不完全正确,而一开始大家都尽量避免提到Y 这种情况。理解何时这么说话是合适的,而何时只是烦人需要足够的社会成熟度,不仅仅只是数学论述那么简单。

此外,练习入门证明后还要再过数年你才能对自己总犯错这件事不那么在意。对很多那些没有良好榜样,或没有探讨对象的学生来说,这可是很大一个关卡。数学真的是情绪过山车。

关键在于,要是在任何情况下你都太过坚持这些原则只会让人觉得你是个混蛋,或是个小丑,这对你可一点帮助也没有。只有知道何时坚守这些原则,才能让你像挥舞一把厨师刀一样使用你的数学思维能力:安全,高效地把思想和论点切片,并赋予他们最基本的样子。

原文发布于微信公众号 - 大数据文摘(BigDataDigest)

原文发表时间:2016-09-08

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