【概率笔记】条件概率这样学才快啦
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条件概率（Conditional Probability）
这里用一个例子来告诉大家：
比如，一个上学期间整天鬼混的学沫，根本就不好好学习，对于他而言，选择题的四个选项ABCD被他选取的概率就为1/4。而对于大学霸来说，题题都会，那么他选取每一个选项的概率就为1或0。
但是有一天，这个学沫和学霸考试竟然挨着，当学沫想看学霸选择题的时候，被学霸一手遮住：
那么在这样的事情发生之后，学沫肯定就知道不是选B就是选D了，AC根本不可能。那么此时的P(B)=P(D)=1/2。上述情况发生后一个事件的概率被称为条件概率。
数学上的条件概率表示
P(X|Y)
其中
X：自己关心的事（要求的概率）
Y：观察到的，已发生的事件（已知条件）
条件概率怎么算？
若某事件Y包含数个实验结果：
Y={O1, O2,...,On}
那么P(Oi|Y)的条件概率表示为（忽略小鼠标）
如果考虑到某事件X={O1,O2,Q1,Q2},已知条件事件Y={O1,O2,O3}发生了，则：
所以最终可以包含所有情况的公式定义
若已知某事件Y发生了，则对于任何事件X，我们可以计算其条件概率为：
注：英文中表示已知条件的词大致为condition on，Suppose，if，Assuming，given that。
条件概率定理
定理一
注：很明显由概率公理一得任何概率都大于等于0，所以这里P(X|Y)大于等于0（当然分母等于0咋办？所以为了数学严谨，直接定该条件概率大于等于0）
定理二
注：自己在自己发生的情况下的概率为1
定理三
注：若AB互斥，那么它们集合的条件概率等于分别各自的条件概率
定理四
全概率（Total Probability）定理
若C1，C2，...，Cn互斥，且它们的并为全集合S，则对于任意事件A有：
注：其中根据上面提到的公式
得出该式中
那么根据上章讲的切面包定理
公式证明为：
举个应用栗子：
比如还是上章讲的阿宅和可爱店员，店员对阿宅是否笑，是收到店的生意的影响的。
其中：满表示生意火爆；普表示平淡；惨表示店里冷清惨淡。
之前考虑的是这个可爱店员对阿宅笑的概率。那么这次考虑可爱店员笑的概率
那么此时的概率用集合表示为
根据上述公式得
定理五
贝叶斯（Bayes）定理
若C1，C2，...，Cn互斥且它们的并为总集合S，则对任意事件A，有
注：贝叶斯定理用的还是很多的，比如在机器学习以及自然语言处理应用中。由公式可以看出一个细节，前面的条件和关心的事件在后面的公式总反过来了，所以这个贝叶斯定理经常被用在交换条件和关心事件的公式。
证明也不难，左边的公式等于
举个栗子
还是阿宅和可爱店员的例子。这次我们站在店长的角度考虑，店长在乎的是店的生意，有一天，店长恰好看到了这个可爱店员笑了，那么此时店里是满（红红火火）的概率。
计算公式为：
所以，当店长看到店员笑的时候，店里满的概率仅仅为九分之一，看来店长看到店员笑的时候会很生气啊。哈哈
好了今天就到这里，每天进步一丢丢！用5秒钟看完下面雅思单词吧O.O
Reference 概率视频 叶丙成 中国台湾大学