【数学基础篇】---详解极限与微分学与Jensen 不等式

一、前述

数学基础知识对机器学习还有深度学习的知识点理解尤为重要，本节主要讲解极限等相关知识。

二、极限

1、例子

当 x 趋于 0 的时候，sin(x) 与 tan(x) 都趋于 0. 但是哪一个趋于 0 的速度更快一些呢？

我们考察这两个函数的商的极限，

所以当 x → 0 的时候，sin(x) 与 tan(x) 是同样级别的无穷小。

2、相关定理

如果三个函数满足 f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), 而且他们都在 x0 处有极 限，那么

重要极限：

三、微分学

微分学的核心思想: 逼近.

1、函数导数：

如果一个函数 f(x) 在 x0 附近有定义，而且存在极限。

那么 f(x) 在 x0 处可导且导数 f ′ (x0) = L.

 无穷小量表述: 线性逼近。

Definition (函数的高阶导数)

如果函数的导数函数仍然可导，那么导数函数的导数是二阶导 数，二阶导数函数的导数是三阶导数. 一般地记为

或者进一步

导数是对函数进行线性逼近，高阶导数是对导数函数的进一步逼 近，因为没有更好的办法，所以数学家选择继续使用线性逼近.

 Example (初等函数的导数)

2、微分学：多元函数

且 Lx, Ly 分别是 f 在 x, y 方向上的偏导数. 一般记为

3、Definition (高阶偏导数)

并且二阶偏导数为

4、Example (偏导数的例子)

5、求导法则

 6.总结

微分学的核心思想是逼近. 一阶导数：线性逼近 二阶导数：二次逼近 导数计算：求导法则

四、泰勒级数

1、泰勒/迈克劳林级数: 多项式逼近。

2、泰勒级数: 例子

3、应用

泰勒级数是一元微分逼近的顶峰，所以有关于一元微分逼近的问 题请尽情使用.

罗比塔法则

证明：

因为是在 x0 附近的极限问题，我们使用泰勒级数来思考这个问题

4、小结 (泰勒级数)

泰勒级数本质是多项式逼近

特殊函数的泰勒级数可以适当记一下

泰勒级数可以应用于很多与逼近相关的问题。

五、牛顿法与梯度下降法

很多机器学习或者统计的算法最后都转化成一个优化的问题. 也 就是求某一个损失函数的极小值的问题, 在本课范围内我们考虑 可微分的函数极小值问题.

1、优化问题

对于一个无穷可微的函数 f(x)，如何寻找他的极小值点.

极值点条件。

全局极小值: 如果对于任何 x˜, 都有 f(x∗) ≤ f(˜x)，那么 x∗ 就是全局极小值点.

局部极小值: 如果存在一个正数 δ 使得，对于任何满足 |x˜ − x∗| < δ 的 x˜, 都有 f(x∗) ≤ f(˜x)，那么 x∗ 就是局部极 小值点.（方圆 δ 内的极小值点）

不论是全局极小值还是局部极小值一定满足一阶导数/梯度 为零，f ′ = 0 或者 ∇f = 0.

2、局部极值算法

这两种方法都只能寻找局部极值 这两种方法都要求必须给出一个初始点 x0

数学原理：牛顿法使用二阶逼近（等价于使用二阶泰勒级数），梯度下降法使用一阶逼近

牛顿法对局部凸的函数找到极小值，对局部凹的函数找到极 大值，对局部不凸不凹的可能会找到鞍点.

梯度下降法一般不会找到最大值，但是同样可能会找到鞍 点.

当初始值选取合理的情况下，牛顿法比梯度下降法收敛速度 快.

牛顿法要求估计二阶导数，计算难度更大.

3、牛顿法

首先在初始点 x0 处，写出二阶泰勒级数。

多变量函数二阶逼近

4、梯度下降法：多变量函数一阶逼近

如果函数 f(x) 是个多元函数,x 是一个向量. 在 x0 处对f做线性逼近。

5、小结 (牛顿法与梯度下降法)

牛顿法与梯度下降法本质上都是对目标函数进行局部逼近.

因为是局部逼近所以也只能寻找局部极值

牛顿法收敛步骤比较少，但是梯度下降法每一步计算更加简单，牛顿法不仅给出梯度的方向还给出具体应该走多少。梯度法的r只能自己定义。

不同的算法之间很难说哪一个更好，选择算法还要具体问题 具体分析（这也是数据科学家存在的意义之一）

梯度本身是向着最大方向的，加个负号才是向着最小方向的。

六、凸函数与琴生不等式

1、Definition (凸函数)

把如上定义中的 ≤ 换成 <, 那么这个函数就叫做严格凸函数。

2、(凸函数判断准则)

如果 f 是多元函数,x 是个向量, 那么 f 是凸函数的条件变为Hf 是一个半正定矩阵。

3、凸函数重要性质: 琴生不等式)