【ML】逻辑回归——详细概述
笔者邀请您，先思考：
1 逻辑回归算法如何理解和应用？
逻辑回归在20世纪早期被用于生物科学。它后来被用于许多社会科学应用。因变量(目标)为分类变量时采用Logistic回归。
例如,
- 预测电子邮件是垃圾邮件(1)还是(0)
- 肿瘤是否恶性(1)(0)
考虑一个场景，我们需要对电子邮件是否为垃圾邮件进行分类。如果我们用线性回归来解决这个问题，就需要设置一个阈值，根据这个阈值可以进行分类。假设实际类为恶性，预测连续值为0.4，阈值为0.5，则将数据点划分为非恶性，会导致严重后果。
从这个例子可以推断线性回归不适合分类问题。线性回归是无界的，逻辑回归的值严格从0到1。
简单线性回归
完整的源代码：
https://github.com/SSaishruthi/LogisticRegression_Vectorized_Implementation/blob/master/Logistic_Regression.ipynb
模型 输出：0或者1 假设：Z=WX+B
如果Z→∞，Y(预测值)= 1，如果Z→-∞，Y(预测值)= 0。
假设分析
假设的输出是估计的概率。这是用来推断当给定输入x时，预测值是实际值的可信度。
X = [x0 x1] = [1 IP-Address]
根据x1值，假设我们得到的估计概率是0.8。这说明电子邮件有80%的可能是垃圾邮件。
数学可以写成：
这说明了“逻辑回归”这个名称的合理性。数据拟合为线性回归模型，再通过logistic函数对目标分类因变量进行预测。
逻辑回归的类型
- 二元逻辑回归：分类反应只有两种可能结果。例子:垃圾邮件或非垃圾邮件
- 多项逻辑回归：三个或更多的类别，没有排序。例子:预测哪种食物更受欢迎(素食，非素食，纯素食)
- 顺序逻辑回归：三个或更多类别的排序。例子:电影分级从1到5
决策边界
为了预测数据点属于哪个类别，可以设置一个阈值。根据这个阈值，将获得的估计概率划分为类别。
如果predicted_value≥0.5,电子邮件邮件分类为垃圾邮件反之不是。 决策边界可以是线性的，也可以是非线性的。多项式阶增加以获得复杂的决策边界。
代价函数
为什么用于线性的代价函数不能用于逻辑回归?
线性回归以均方误差为代价函数。如果将其用于逻辑回归，则为参数的非凸函数。只有当函数为凸函数时，梯度下降才收敛到全局最小值。
代价函数的解释
简化的代价函数
为什么这是代价函数
这个负函数是因为当我们训练时，我们需要通过最小化损失函数来最大化概率。假设样本来自相同独立分布，降低成本会增加样本的最大似然。
推导梯度下降算法的公式
Python实现
1def weightInitialization(n_features):
2 w = np.zeros((1,n_features))
3 b = 0
4 return w,b
5def sigmoid_activation(result):
6 final_result = 1/(1+np.exp(-result))
7 return final_result
8
9def model_optimize(w, b, X, Y):
10 m = X.shape[0]
11
12 #Prediction
13 final_result = sigmoid_activation(np.dot(w,X.T)+b)
14 Y_T = Y.T
15 cost = (-1/m)*(np.sum((Y_T*np.log(final_result)) + ((1-Y_T)*(np.log(1-final_result)))))
16 #
17
18 #Gradient calculation
19 dw = (1/m)*(np.dot(X.T, (final_result-Y.T).T))
20 db = (1/m)*(np.sum(final_result-Y.T))
21
22 grads = {"dw": dw, "db": db}
23
24 return grads, cost
25def model_predict(w, b, X, Y, learning_rate, no_iterations):
26 costs = []
27 for i in range(no_iterations):
28 #
29 grads, cost = model_optimize(w,b,X,Y)
30 #
31 dw = grads["dw"]
32 db = grads["db"]
33 #weight update
34 w = w - (learning_rate * (dw.T))
35 b = b - (learning_rate * db)
36 #
37
38 if (i % 100 == 0):
39 costs.append(cost)
40 #print("Cost after %i iteration is %f" %(i, cost))
41
42 #final parameters
43 coeff = {"w": w, "b": b}
44 gradient = {"dw": dw, "db": db}
45
46 return coeff, gradient, costs
47def predict(final_pred, m):
48 y_pred = np.zeros((1,m))
49 for i in range(final_pred.shape[1]):
50 if final_pred[0][i] > 0.5:
51 y_pred[0][i] = 1
52 return y_pred成本与迭代次数
系统的训练和测试精度为100% 此实现用于二元逻辑回归。对于超过两个类的数据，必须使用softmax回归。 完整的代码:
https://github.com/SSaishruthi/LogisticRegression_Vectorized_Implementation/blob/master/Logistic_Regression.ipynb
作者：Saishruthi Swaminathan 原文链接： https://towardsdatascience.com/logistic-regression-detailed-overview-46c4da4303bc