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【转载】理解矩阵(三)

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marsggbo
发布2018-12-27 16:57:56
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发布2018-12-27 16:57:56
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首先来总结一下前面两部分的一些主要结论:

  1. 首先有空间,空间可以容纳对象运动的。一种空间对应一类对象。
  2. 有一种空间叫线性空间,线性空间是容纳向量对象运动的。
  3. 运动是瞬时的,因此也被称为变换。
  4. 矩阵是线性空间中运动(变换)的描述。
  5. 矩阵与向量相乘,就是实施运动(变换)的过程。
  6. 同一个变换,在不同的坐标系下表现为不同的矩阵,但是它们的本质是一样的,所以本征值相同。

下面让我们把视力集中到一点以改变我们以往看待矩阵的方式。我们知道,线性空间里的基本对象是向量,而向量是这么表示的:

\[[a1, a2, a3, ..., an]\]

矩阵呢?矩阵是这么表示的: \[ \begin{align} \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right] \notag \end{align} \]

不用太聪明,我们就能看出来,矩阵是一组向量组成的。特别的,n维线性空间里的方阵是由n个n维向量组成的。我们在这里只讨论这个n阶的、非奇异的方阵,因为理解它就是理解矩阵的关键,它才是一般情况,而其他矩阵都是意外,都是不得不对付的讨厌状况,大可以放在一边。这里多一句嘴,学习东西要抓住主流,不要纠缠于旁支末节。很可惜我们的教材课本大多数都是把主线埋没在细节中的,搞得大家还没明白怎么回事就先被灌晕了。比如数学分析,明明最要紧的观念是说,一个对象可以表达为无穷多个合理选择的对象的线性和,这个概念是贯穿始终的,也是数学分析的精华。但是课本里自始至终不讲这句话,反正就是让你做吉米多维奇,掌握一大堆解偏题的技巧,记住各种特殊情况,两类间断点,怪异的可微和可积条件(谁还记得柯西条件、迪里赫莱条件...?),最后考试一过,一切忘光光。要我说,还不如反复强调这一个事情,把它深深刻在脑子里,别的东西忘了就忘了,真碰到问题了,再查数学手册嘛,何必因小失大呢?

言归正传。如果一组向量是彼此线性无关的话,那么它们就可以成为度量这个线性空间的一组基,从而事实上成为一个坐标系体系,其中每一个向量都躺在一根坐标轴上,并且成为那根坐标轴上的基本度量单位(长度1)。

现在到了关键的一步。看上去矩阵就是由一组向量组成的,而且如果矩阵非奇异的话(我说了,只考虑这种情况),那么组成这个矩阵的那一组向量也就是线性无关的了,也就可以成为度量线性空间的一个坐标系。结论:矩阵描述了一个坐标系。

“慢着!”,你嚷嚷起来了,“你这个骗子!你不是说过,矩阵就是运动吗?怎么这会矩阵又是坐标系了?”

嗯,所以我说到了关键的一步。我并没有骗人,之所以矩阵又是运动,又是坐标系,那是因为——

“运动等价于坐标系变换”。

对不起,这话其实不准确,我只是想让你印象深刻。准确的说法是:

“对象的变换等价于坐标系的变换”。

或者:

“固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换。”

说白了就是:

“运动是相对的。”        

让我们想想,达成同一个变换的结果,比如把点(1, 1)变到点(2, 3)去,你可以有两种做法。第一,坐标系不动,点动,把(1, 1)点挪到(2, 3)去。第二,点不动,变坐标系,让x轴的度量(单位向量)变成原来的1/2,让y轴的度量(单位向量)变成原先的1/3,这样点还是那个点,可是点的坐标就变成(2, 3)了。方式不同,结果一样。

  • 从第一个方式来看,那就是我在《理解矩阵》1/2中说的,把矩阵看成是运动描述,矩阵与向量相乘就是使向量(点)运动的过程。在这个方式下, \[Ma = b\] 的意思是:“向量a经过矩阵M所描述的变换,变成了向量b。”
  • 而从第二个方式来看,矩阵M描述了一个坐标系,姑且也称之为M。那么: \[Ma = b\] 的意思是:“有一个向量,它在坐标系\(M\)的度量下得到的度量结果向量为a,那么它在坐标系\(I\)的度量下,这个向量的度量结果是b。” 这里的\(I\)是指单位矩阵,就是主对角线是1,其他为零的矩阵。

而这两个方式本质上是等价的。

我希望你务必理解这一点,因为这是本篇的关键。

正因为是关键,所以我得再解释一下。

在M为坐标系的意义下,如果把M放在一个向量a的前面,形成\(Ma\)的样式,我们可以认为这是对向量a的一个环境声明。它相当于是说:

“注意了!这里有一个向量,它在坐标系M中度量,得到的度量结果可以表达为a。可是它在别的坐标系里度量的话,就会得到不同的结果。为了明确,我把M放在前面,让你明白,这是该向量在坐标系M中度量的结果。”

那么我们再看孤零零的向量b:

b

多看几遍,你没看出来吗?它其实不是b,它是:

\(Ib\)

也就是说:“在单位坐标系,也就是我们通常说的直角坐标系I中,有一个向量,度量的结果是b。”

而  \(Ma = Ib\)的意思就是说:

“在M坐标系里量出来的向量a,跟在I坐标系里量出来的向量b,其实根本就是一个向量啊!”

这哪里是什么乘法计算,根本就是身份识别嘛。

从这个意义上我们重新理解一下向量。向量这个东西客观存在,但是要把它表示出来,就要把它放在一个坐标系中去度量它,然后把度量的结果(向量在各个坐标轴上的投影值)按一定顺序列在一起,就成了我们平时所见的向量表示形式。你选择的坐标系(基)不同,得出来的向量的表示就不同。向量还是那个向量,选择的坐标系不同,其表示方式就不同。因此,按道理来说,每写出一个向量的表示,都应该声明一下这个表示是在哪个坐标系中度量出来的。表示的方式,就是 Ma,也就是说,有一个向量,在M矩阵表示的坐标系中度量出来的结果为a。我们平时说一个向量是\([2,\,3,\, 5,\, 7]^T\),隐含着是说,这个向量在 \(I\) 坐标系中的度量结果是\([2,\, 3, \,5,\, 7]^T\),因此,这个形式反而是一种简化了的特殊情况。

注意到,M矩阵表示出来的那个坐标系,由一组基组成,而那组基也是由向量组成的,同样存在这组向量是在哪个坐标系下度量而成的问题。也就是说,表述一个矩阵的一般方法,也应该要指明其所处的基准坐标系。所谓M,其实是 IM,也就是说,M中那组基的度量是在 I 坐标系中得出的。从这个视角来看,\(M×N\)也不是什么矩阵乘法了,而是声明了一个在M坐标系中量出的另一个坐标系N,其中M本身是在\(I\)坐标系中度量出来的。

回过头来说变换的问题。我刚才说,“固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换”,那个“固定对象”我们找到了,就是那个向量。但是坐标系的变换呢?我怎么没看见?

请看:

\[Ma = Ib\]

我现在要变M为I,怎么变?对了,再前面乘以个\(M^{-1}\),也就是M的逆矩阵。换句话说,你不是有一个坐标系M吗,现在我让它乘以个\(M^{-1}\),变成\(I\),这样一来的话,原来M坐标系中的a在\(I\)中一量,就得到b了。

我建议你此时此刻拿起纸笔,画画图,求得对这件事情的理解。比如,你画一个坐标系,x轴上的衡量单位是2,y轴上的衡量单位是3,在这样一个坐标系里,坐标为(1,1)的那一点,实际上就是笛卡尔坐标系里的点(2, 3)。而让它原形毕露的办法,就是把原来那个坐标系:

2 0 0 3

的x方向度量缩小为原来的1/2,而y方向度量缩小为原来的1/3,这样一来坐标系就变成单位坐标系I了。保持点不变,那个向量现在就变成了(2, 3)了。

怎么能够让“x方向度量缩小为原来的1/2,而y方向度量缩小为原来的1/3”呢?就是让原坐标系:

2 0 0 3

被矩阵:

1/2   0 0   1/3

左乘。而这个矩阵就是原矩阵的逆矩阵。

下面我们得出一个重要的结论:

“对坐标系施加变换的方法,就是让表示那个坐标系的矩阵与表示那个变化的矩阵相乘。”

再一次的,矩阵的乘法变成了运动的施加。只不过,被施加运动的不再是向量,而是另一个坐标系。

如果你觉得你还搞得清楚,请再想一下刚才已经提到的结论,矩阵MxN,一方面表明坐标系N在运动M下的变换结果,另一方面,把M当成N的前缀,当成N的环境描述,那么就是说,在M坐标系度量下,有另一个坐标系N。这个坐标系N如果放在I坐标系中度量,其结果为坐标系MxN。

在这里,我实际上已经回答了一般人在学习线性代数是最困惑的一个问题,那就是为什么矩阵的乘法要规定成这样。简单地说,是因为:

  1. 从变换的观点看,对坐标系N施加M变换,就是把组成坐标系N的每一个向量施加M变换。
  2. 从坐标系的观点看,在M坐标系中表现为N的另一个坐标系,这也归结为,对N坐标系基的每一个向量,把它在I坐标系中的坐标找出来,然后汇成一个新的矩阵。
  3. 至于矩阵乘以向量为什么要那样规定,那是因为一个在M中度量为a的向量,如果想要恢复在I中的真像,就必须分别与M中的每一个向量进行內积运算。我把这个结论的推导留给感兴趣的朋友吧。应该说,其实到了这一步,已经很容易了。

综合以上1/2/3,矩阵的乘法就得那么规定,一切有根有据,绝不是哪个神经病胡思乱想出来的。

我已经无法说得更多了。矩阵又是坐标系,又是变换。到底是坐标系,还是变换,已经说不清楚了,运动与实体在这里统一了,物质与意识的界限已经消失了,一切归于无法言说,无法定义了。道可道,非常道,名可名,非常名。矩阵是在是不可道之道,不可名之名的东西。到了这个时候,我们不得不承认,我们伟大的线性代数课本上说的矩阵定义,是无比正确的:

“矩阵就是由m行n列数放在一起组成的数学对象。”

好了,这基本上就是我想说的全部了。还留下一个行列式的问题。矩阵M的行列式实际上是组成M的各个向量按照平行四边形法则搭成一个n维立方体的体积。对于这一点,我只能感叹于其精妙,却无法揭开其中奥秘了。也许我掌握的数学工具不够,我希望有人能够给我们大家讲解其中的道理了。

我不知道是否讲得足够清楚了,反正这一部分需要您花些功夫去推敲。

此外,请大家不必等待这个系列的后续部分。以我的工作情况而言,近期内很难保证继续投入脑力到这个领域中,尽管我仍然对此兴致浓厚。不过如果还有(四)的话,可能是一些站在应用层面的考虑,比如对计算机图形学相关算法的理解。但是我不承诺这些讨论近期内会出现了。


最后的最后,非常感谢原作者分享自己对于矩阵的理解,我想说这对很多人来说都受益匪浅,书本上冰冷的知识堆砌一直让我摸不着头脑,为什么要这么定义?这么求出来为什么就是特征值或者特征矩阵了呢?读了这些系列文章后有种醍醐灌顶的感觉,再次表示感谢!


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原始发表:2018-12-19 ,如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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