【数学家】通俗易懂的傅立叶级数理解

前面说到过泰勒展开式，这里我们在复习一下。

我们知道泰勒展开式就是把函数分解成1，x,x^2,x^3....幂级数（指数）的和。

你知道为什么要展开成幂级数的和吗？请看这里： 因为我们把y展开成泰勒级数 y = 1+x+x^2+x^3+x^4+…的时候我们可以无限细分得到函数在每个点的【【变化】】呀！ 这和你把3234.352拆成3000+200+30+4+0.3+0.05+0.002一样一样一样的啊！！！ 所谓对函数的无限细分，就是不断求导，得到123456789阶变化率，从而得到这个函数到底在各个点【精细】【变化】的有多剧烈啊！还记得神马叫变化吗？位移的变化是速度，速度的变化是加速度，加速度的变化是加加速度的。 泰勒级数的每一阶的系数（主值）就是各阶导数啊！ 所以泰勒级数就是在描述一个函数的各个点的变化啊！！

明白了，泰勒展开级数，是把函数转变成幂级数的和，那我们回归原题，看看，傅立叶级数表达的含义。

百度百科是这样说的：

法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。

哦，终于有点明白了，

你想知道为什么分解成三角函数的和（正弦波或余弦波）那么重要吗？ 我们知道，对于一个周期函数来说，和周期对应的叫频率。频率表示了周期性变化的快慢（比如说振动的快慢）。我们知道弹簧是有振动频率的、电磁波是有振荡频率的，光也是有频率的。频率就是这些物质的本质属性。 那凭什么是正弦/余弦的频率呀！ 因为正弦/余弦函数是【二阶偏微分方程】（就是含有电容等元件的电路方程）的【本征解！】。

我们知道我们要把函数展开成三角不同频率的三角函数的和，而且系统对某种频率的【三】【角】【函】【数】的响应方式还是【同频率的三角函数】，所以响应也是对这些不同【三】【角】频率【响应的叠加】这叫什么，这就叫频域分析，这就叫信号与系统！！

我们再来看看傅立叶级数公式吧。

1. 什么是投影 我们先来复习什么是投影吧。考虑一个简单的二维平面的例子。如下图所示，给定两个向量 u 和 v ，我们从 u 的末端出发作到 v 所在直线的垂线，得到一个跟 v 同向的新向量 p 。这个过程就称作 u 到 v 所在直线的投影，得到的新向量 p 就是 u 沿 v 方向的分量。图中的系数 c 是 p 跟 v 的比例，也就是 u 在 v 轴上的“坐标”。我们可以用尺规作图来完成投影这个动作，问题是：如果给定的向量 u 和 v 都是代数形式的，我们怎么用代数的方法求 c ？

我相信只要有基本线性代数知识的同学都可以轻松解决这个问题。我们知道 u-cv 这个向量是“正交”于 v 的，用数学语言表达就是 (u-cv)T v = 0。我们马上就可以得到 c 的表达式如下。

（1）

这里补充一点向量正交：

“正交向量”是一个数学术语，指点积为零的两个或多个向量。

如果两个向量x,y正交，则其夹角为90度，可表示为表达式：

注意：x，y的顺序没有区别，即下式也成立：

两个向量正交，可以表示为下图：

由勾股定理可知：

将上式展开得：

我们举例说明：假设两个向量分别为x,y，z=x+y：

其中x，y满足下式：

则向量的长度（即向量的2范数）为：

显然满足勾股定理：

如果两个或多个向量，它们的点积为0，那么它们互相称为正交向量。在二维或三维的欧几里得空间中，两个或三个向量两两成90°角时，它们互为正交向量。正交向量的集合称为正交向量组。

例如：a=(1,1,0),b=(1,-1,0) ,则内积(a,b)=1*1+1*(-1)+0*0=0,所以a,b正交。向量组两两正交就是其任意两个向量都正交。

2. 向量在一组正交基上的展开 在讲傅里叶级数之前，我们还需引进线性代数中“正交基”的概念。如果这个概念你觉得陌生，就把它想成是互相垂直的“坐标轴”。回到刚才这个例子，如下图所示，现在我们引进一组正交基 {v1，v2}，那么 u 可以展开成以下形式

（2）

从图上来看，(2) 式其实说的是我们可以把 u“投影”到 v1 和 v2 这两个坐标轴上，c1 和 c2 就是 u 的新“坐标”。问题是：我们怎么求 c1 和 c2 呢？你会说，我们可以 (2) 式两边同时乘以 v1 或 v2，然后利用它们正交的性质来求 c1，c2。没错，数学上是这么做的。但是利用之前关于投影的讨论，我们可以直接得出答案，直接利用 (1) 式就可以得到如下的表达式：

（3） 3. 傅里叶级数的几何意义 现在我们已经明白一件事情了：如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新“坐标轴”的“坐标”，那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了，也就是把 (1) 式中的 v 换成新坐标轴就好了。说了半天，这些东西跟傅里叶级数有什么关系？我们先回忆一下傅里叶级数的表达式。给定一个周期是 2l 的周期函数 f(x),它的傅里叶级数为：

（4） 其中系数表达式如下：

（5） 我不喜欢记忆这些公式，有办法可以更好的理解他们来帮助记忆吗？答案是有的，那就是从几何的角度来看。傅里叶告诉我们，f(x) 可以用下面这组由无限多个三角函数（包括常数）组成的“正交基”来展开，

（6） 这里我们需要在广义上来理解“正交”。我们说两个向量，或两个函数之间是正交的，意思是它们的“内积”（inner product）为零。 “内积”在有限维的“向量空间”中的形式为“点积”(dot product)。在无限维的“函数空间”中，对于定义在区间 [a,b] 上的两个实函数 u(x),v(x) 来说，它们的内积定义为

（7） 正交基 (6) 中的每个函数都可以看做是一条独立的坐标轴，从几何角度来看，傅里叶级数展开其实只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的“坐标轴”上。上面 (5) 式中的系数则是函数在每条坐标轴上的坐标。 现在的问题是我们不能直接用 (1) 式来求这些坐标了，因为它只适用于有限维的向量空间。在无限维的函数空间，我们需要把 (1) 式中分子分母的点积分别替换成 (7) 式。那么 (5) 式中的所有系数马上可以轻松的写出：

（8） 值得注意的是，(8) 式中所有积分可以在任意一个长度是2l的区间内进行。也就是说，不管是 [-l,l] 还是 [0,2l]，答案都是一样的。 有同学会说，老师上课教的是对 (4) 式两边乘以1，cos(nπx/l)，或 sin(nπx/l), 然后积分，利用这些函数之间的正交性来得到 (5) 式。这些当然是对的，而且我们应该学会这种推导来加深对正交性的理解。但是在应用上，我更喜欢用几何的角度来看傅里叶级数，把函数看成是无限维的向量，把傅里叶级数跟几何中极其简单的“投影”的概念联系起来，这样学习新知识就变得简单了，而且可以毫无障碍的把公式记住，甚至一辈子都难忘。 熟悉傅里叶级数的同学会问，那么对于复数形式的傅里叶级数，我们是否也能用几何投影的观点来看，然后写出级数中的所有系数呢？答案是肯定的。给定一个周期是 2l 的周期函数 f(x),它的傅里叶级数的复数形式为：

（9） 其中系数表达式如下：

（10） 这意味着我们用了下面这组“正交基”来展开原函数，

（11） 我们之前提到了两个函数正交，意思是它们的内积为零。对于定义在区间 [a,b] 上的两个复函数 u(x),v(x) 来说，它们的内积定义为

（12） 其中v加上划线意思是它的共轭。(10) 中指数函数里的负号就是因为取了共轭的关系。 现在我们同样可以把原函数分别投影到 (11) 中的每个函数所在的“坐标轴”来求出对应的“坐标”，也就是系数cn：

（13） 这里我想强调一下这个“正交基”的重要性。在一个有限维的向量空间，给定任何向量都可以被一组基展开，它可以不必是正交的，这个时候展开项中的系数（也就是沿这组基中任一坐标轴的坐标）需要求解一个线性方程组来得到。只有当这组基是正交的时候，这些系数才能从给定向量往各坐标轴上投影得出，也就是 (1) 式。同样的，在无限维的函数空间，我们可以把一个函数在某个“基”中展开，但是只有在“正交基”中，展开项中的系数才能看成是函数投影的结果。 最后做一个总结，不管是向量 u 还是函数 u，他们都可以被一组正交基{vn：n=1,...,N}（有限个向量）或{vn：n=1,...,∞}(无限个函数）展开如下:

（14） 上式中的 cn 代表 u 在 vn 所在的坐标轴上投影产生的坐标。而 (14) 式中内积的定义视情况而定，在有限维的向量空间（实数域），向量 u 和 v 的内积是点积 uTv；在无限维的函数空间，函数 u(x) 和 v(x) 的内积的通用形式是 (12)，如果它们是实函数，那么 (12) 就可以简化成 (7) 的形式。 我们可以看到，用几何投影的观点来看待傅里叶级数，理解变得更加容易，因为我相信所有人都能理解投影的概念；同时，傅里叶级数所有的公式都可以轻松的记住，想要遗忘都难了。我们在学习不同学科的时候可以经常的去做联系，尝试着用不同的角度去看待同一个问题，我相信这么做是很有好处的。

参考：http://blog.renren.com/share/343320656/15540620254/0

参考：http://www.360doc.com/content/13/0328/12/202378_274443797.shtml

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