【机器学习】算法原理详细推导与实现(一):线性回归

【机器学习】算法原理详细推导与实现(一):线性回归

今天我们这里要讲第一个有监督学习算法，他可以用于一个回归任务，这个算法叫做 线性回归

房价预测

假设存在如下 m 组房价数据：

通过上面的数据，可以做出如下一个图。横坐标是 面积(m^2)，纵坐标是 价格(万元)：

996148-20190528172755814-1526228187.png

那么问题来了，给你这样一组数据，或者给你这样一个训练数据的集合，能否预测房屋的面积大小和房价之间的关系？

构建函数

存在如下符号假设：

m 为训练数据 x 为输入特征，即房子的大小 y 为输出结果，即房子的价格 (x, y) 为一个样本，即表格中一行代表一个训练样本

为第 i 个训练样本

在监督学习中，我们一般会这样做：

1. 首先找到一个训练集合
2. 提供样本 m 给算法构建学习函数
3. 算法会生成一个学习函数，用

表示

1. 给学习函数提供足够的样本

x

，由此输出结果

y

学习函数

image.png

训练函数

image.png

为了设计学习算法(学习函数)，假设存在如下函数：

其中

x

是一个输入函数，这里代表输入的面积(m^2)，

是一个输出函数，这里代表 输出的价格(万元)，

\theta

是函数的参数，是需要根据样本学习的参数。对于如上的学习函数只是一个简单的二元一次方程，只需要两组样本

就能将

\theta_0,\theta_1

学习出来，这是一个很简单的函数，但是这样在实际情况中并非很合理。

但是影响房子价格的因素不仅仅是房子的大小。除了房子的大小之外，假设这里还知道每个房子的房间数量：

那么我们的训练集合将有第二个特征，

x_1

表示房子的面积(m^2)，

x_2

表示房子的房间(个)，这是学习函数就变成了：

\theta

被称为参数，决定函数中每个特征

x

的影响力（权重）。

为参数为

\theta

输入变量为

x

的学习函数。如果令

x_0=1

，那么上述方程可以用求和方式写出，也可以转化为向量方式表示：

假设存在

m

个特征

x

，那么上述公式求和可以改成：

训练参数

在拥有足够多的训练数据，例如上面的房价数据，怎么选择(学习)出参数

\theta

出来？一个合理的方式是使学习函数

学习出来的预测值无限接近实际房价值

y

。假设单个样本误差表示为：

我们把

叫做单个样本的误差。至于为什么前面要乘

\frac{1}{2}

，是为了后面计算方便。

为了表示两者之间的接近程度，我们可以用训练数据中所有样本的误差的和，所以定义了 损失函数 为：

而最终的目的是为了使误差和

最小，这里会使用一个搜索算法来选取

\theta

使其误差和无限逼近

最小，其流程是：

1. 初始化一组向量

\vec{\theta}=\vec{0}

1. 不断改变

\theta

的值使其

不断减小

1. 直到取得

最小值，活得得到最优的参数向量

\vec{\theta}

该搜索算法为 梯度下降，算法的思想是这样的，下图看到显示了一个图形和坐标轴，图像的高度表示误差和

，而下面的两条坐标表示不同的参数

\theta

，这里为了方便看图只是显示了

\theta_0

和

\theta_1

，即变化参数

\theta_0

和

\theta_1

使其误差和

在最低点，即最小值。

首先随机选取一个点

\vec{\theta}

，它可能是

\vec{0}

，也可能是随机的其他向量。最开始的 + 字符号表示开始，搜索使其

下降速度最快的方向，然后迈出一步。到了新的位置后，再次搜索下降速度最快的方向，然后一步一步搜索下降，梯度下降算法是这样工作的：

996148-20190531140947923-87371294.gif

梯度下降的核心就在于每次更新

\theta

的值，公式为：

上面公式代表：

\theta_j

每次都按照一定的 学习速率

\alpha

搜索使误差和

下降最快的方向更新自身的值。而

是

的偏导值，求偏导得到极值即是下降最快的方向。假设在房价的例子中，只存在一组训练数据

，那么可以推导如下公式：

结合

可以得到：

对于存在

m

个训练样本，

转化为：

学习速率

\alpha

是梯度下降的速率，

\alpha

越大函数收敛得越快，

可能会远离最小值，精度越差；

\alpha

越小函数收敛得越慢，

可能会靠近最小值，精度越高。下面就是下降寻找最小值的过程，在右图

越来越小的时候，左边的线性回归越来准：

996148-20190603112534562-1877385075.gif

代码

选取得到的 150条二手房 数据进行预测和训练，拟合情况如下：

996148-20190603170011436-686811669.png

计算损失函数：

# 损失函数
def computeCost(X, y, theta):
    inner = np.power(((X * theta.T) - y), 2)
    return np.sum(inner) / (2 * len(X))

梯度下降函数为：

# 梯度下降函数
def gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters):
    temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape))
    parameters = int(theta.ravel().shape[1])
    cost = np.zeros(iters)

    for i in range(iters):
        error = (X * theta.T) - y

        for j in range(parameters):
            term = np.multiply(error, X[:, j])
            temp[0, j] = theta[0, j] - ((alpha / len(X)) * np.sum(term))

        theta = temp
        cost[i] = computeCost(X, y, theta)

    return theta, cost

训练迭代1000次后得到参数

\theta

：

# 训练函数
def train_function():
    X, y, theta = get_training_dataset()
    # 有多少个x就生成多少个theta
    theta = np.matrix(np.zeros(X.shape[-1]))
    # 查看初始误差
    # first_cost=computeCost(X, y, theta)
    # print(first_cost)
    # 设置参数和步长
    alpha = 0.01
    iters = 1000

    # 训练得到theta和每一次训练的误差
    g, cost = gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters)
    computeCost(X, y, g)
    return g, cost