多元回归分析存在多重共线性了怎么办？

在进行多元回归分析时，两个自变量之间可能存在线性相关，所谓线性用数学公式表示如下

即两个自变量之间的关系是一条直线， 称之为共线性，当三个或以上自变量之间存在共线性时，称之为多重共线性，数据公式表示如下

其中，系数不全为零。在回归分析中，假设多个自变量之间是相互独立的，如果存在多重共线性，会造成分析结果的不准确，所以在进行多元回归分析时，我们需要检测自变量是否存在多重共线性。存在多重共线性实际上说明自变量存在了冗余，需要剔除对应的变量之后再进行回归分析。

那么如何来评判一个变量与其他变量是否存在共线性呢？从多重共线性的数学公式可以看出，符合多重共线性的自变量构成了一个线性方程。基于这个思想，对于每个自变量x，将其作为因变量，用线性回归拟合剩余的自变量和x之间的关系。

在线性回归中，拟合结果的好坏用R2来表示，可以想象，如果完全符合上述方程，即存在完全共线性的情况下，R2值最大，为1。实际情况中，虽然不会是完全共线性，但是也可以用R2来表征其线性关系的强弱，R2越大，说明线性关系越明确。

为了更加明确的衡量共线性，数学家利用R2构建了一个统计量，称之为方差膨胀因子，简写为VIF, 全称如下

variance inflation factor

计算公式如下

其中的1-R2也称之为容忍度tolerance, 可以看到，VIF是容忍度的倒数。VIF值越大，说明多重共线性越强，通常情况下，以10为阈值，认为VIF大于10时，多重共线性非常强。需要说明的是，这个阈值是一个经验值，也有采用5作为阈值的。另外还有一种说法，不使用规定阈值，而是通过分析每个自变量的VIF值，将其中显著离群的值作为判断共线性大的依据。

在R中，可以通过如下方式计算每个自变量的VIF值

也可以自己用公式来验证一下，代码如下

当得到各个自变量对应的VIF值之后，可以来筛选VIF值较大的自变量，在上述例子中，自变量tax的VIF值最大，超过了9，可以其与其他变量的多重共线性叫明显，可以考虑去除该自变量，重新进行回归分析。

在进行多元回归时，自变量的多重共线性是必须要考虑的问题，可以根据自变量对应的方差膨胀因子VIF值，来剔除共线性明显的自变量，重新拟合，以提高回归分析的准确性。

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