魔术里的集合、映射和关系（五）——优雅之作《4 Kings 折纸》的集合描述

今天，我们来进入《4 Kings 折纸》这个魔术的数学部分。

先回顾一下表演视频：

视频1 4K折纸

魔术剖析见系列作品上一篇，下面是完整的数学模型。

《4 Kings Folding》的集合描述

对于这个问题，我们对这个扑克牌矩阵以左下角为原点进行编号，用二维坐标来代表每一张牌，这是我们第一个关心的量；还有一个是牌面状态cond，取值face或back，表示牌面或牌背向上；每一张牌的点数并不重要，但是是个识别符号以及承担了效果的展现。令牌集

K = {(i, j, cond) | i, j in N, 0 <= i, j <=3, (i + j is even} xor (cond = face)}

这是一个描述法定义的集合，xor是亦或符号，英文是exclusive or，即一般的or逻辑去掉了两个逻辑值都为真的情况：

A xor B = (A = 1 and B = 0) or (A = 0 and B = 1)

大家可以自行想象这个运算的真值表，这里不画了。

值得注意的是，这么定义下来的按位进行的xor操作，恰好和不记进位的二进制加法的结果一致。换句话讲，原本的逻辑操作，可以在二进制数上模拟出有数值意义的运算来了。

同时，这个集合也是个动态集合，即，它只根据扑克牌的位置和正反状态来确定是否在其内，而和其具体是印着哪个点数的哪一张并没有关系，哪张牌都可以处在这个集合中，也可以因为这个位置或正反的变化而变得不在这个集合中。比如一张初始时在集合内的红桃K，往左边移动一个位置，就不在了，而另一张其他牌，同朝向地放进了红桃K的位置，它就成了这个集合的了。

xor相关运算性质

接下来我们讲讲这里的xor运算的一些性质。

第一个性质，其有取非操作对称性，即把1，0全部交换，性质保持不变，即：

A xor B = (not A) xor (not B).

相当于g(f(x)) = g(x)，即对任意(B1, B2)的二元bool元组，都是函数f((B1, B2)) = (not B1, not B2)在g((B1, B2)) = B1 xor B2性质下的不动点，而全集的不动点，我们一般就称变换函数本身的对称性了，而xor起的作用是限定了一个观察角度，使得结果真的不变（其实所有的不变性都是限定了观察角度的，比如对称的正方形是假定你区分不了那4个顶点谁是谁的，哲学也告诉过我们，人不可能两次踏进同一条河流。）。当然，f函数本身也是一个二阶对称函数。

这个性质在后面折叠过程中保证了其不变性，我们慢慢道来。

于是，把于整个牌桌上的牌的状态描述作为全集A，那么其补集为：

C(A, K) = {(i, j, cond) | i, j in N, 0 <= i, j<= 3, (i + j is even} nxor (cond = face)}

nxor 叫同或，结果取xor结果的非，即A xor B = not (A nxor B)，这也才符合补集的定义。把结果展开，我们有，A nxor B= (A = 1 and B = 1) or (A = 0 and B = 0)。其对称性质和nor也一样，一个二元bool变量都取非这个操作在xnor下是对称不变的：A nxor B = （not A） nxor （not B）

另外，A nxor B= A xor (not B)，对称一下也成立：A xor B= A nxor (not B)。这从真值表上看是很显然的，而从人主观理解的两个bool值是否相等这个角度也很好理解，该运算取非，等价于两个操作数任何一个取非，因为其是否相等这个性质，恰好在其中一个改变的时候跟着改变。

以上是，描述扑克牌状态的集合中用到的数理逻辑运算xor相关的一些性质介绍。

模型推导

这里，如果照视频里那样摆扑克牌的牌面状态，以及把K放在特定位置（具体在哪几张我相信大家可以自己推出来哈），那么K集合在初始时候的，就是那4张K了。

有了这套描述模型，我们再看一下，扑克结尾的状态。反正我们要求了结尾必须折成一叠牌，也就是一个特定的位置，每张牌也还在，有着其特定的牌面状态。于是(i + j)的奇偶性成了一个对所有扑克牌相同的未知常量，所以，其(i + j is even} xor (cond = face)结果仅由牌面结果而定。那么自然，最开始就在K集合里的牌，如果他们在折叠过程中从未改变过确定集合K归属与否的性质，那么最后的朝向就一定是一样的，才使得让他们能够处于同一个集合的性质不变，这在K补集里的也一样。表演时候，我从来没有记忆过到底哪个位置对应K正面向上，哪个对应反面向上，因为最后折的那一次看看就可以发现了，再不济，把它们都打开再说话也可以，效果产生的点是，他们都一样，一样成什么样，并不关心。

接下来只有一个问题了，发明一些合理的操作，不改变扑克牌的归属K集合与否状态，即要让这些操作不改变那个K集合性质的xor操作的结果，即，要用到不变性，要用到对称性。

我们来回顾一下我们可以进行的折叠操作的空间。无论行还是列的折叠，无论折多少行或列，扑克牌都会沿着横坐标或者纵坐标改变奇数个位置而改变奇偶性，而其牌面状态也改变。后者很好理解，而前者的具体原因是，翻折这种操作对应的其实是轴对称变换，而且允许你用的对称轴坐标必然是0.5，1.5, 2.5这样的数，也就是两行或列牌的中间那条缝，坐标也会变为1 / 3 / 5 – i / j这么多，而由奇偶的运算性质或者更深的C2群性质，这显然会改变原来i / j值的奇偶性。而要求从1之类的坐标位置，也就是从牌的长方形对称轴上折过去显然是不合理的，而且这样也打破了我们许下要的限定，此时位置奇偶性不会发生变化。故这里的折叠限定无比自然和可以被不知不觉地接受，妙哉。

好了，xor恰好具有这样的对称性，即A xor B = (not A) xor (not B)，每次按照要求的折叠，都恰好对A，B两个性质进行了取非，最后结果不变。正是因为具有这样的恒等性质，你的每一次横竖折叠都不曾改变上面划分K集合的那个关键性质条件的结果，也就不会改变每张牌的集合归属。因此，最终，所有K朝向同一面，就是一个美丽而奇迹般的必然结果了。

这里，数学变成魔术最巧妙的地方是，看起来混乱的操作中存在这对称性，不变性，恒等式，而只有最后的结果，让你能够瞬间看清这个集合原本的全貌，而其他时候，都混杂在更加复杂的运算里。

还有一点，这里的折叠操作，也不允许对角线或者任意斜率为1或-1的线的折叠，不然也要把牌折弯了。而数学上不允许的原因是，哪怕对角线的牌不动，可以证明，其余折叠牌只要沿着斜率为1或-1的线折叠，那么其前后（i + j ）（mod 2）的结果一定不变，典型的，沿着y = x折叠，直接将坐标换了位置，加法交换率保证了最后结果不会变，在其他情况下，根据折叠前后点连线斜率乘以对称轴斜率为-1可得，其模2结果也相同。

有同学说，y = x折叠能够理解，那当沿着y = (-) x + k来折叠的时候，又不想进行上面的推导，怎么才能轻而易举说明，i + j的结果奇偶性不变呢？

哈哈，对于这个问题，观众用哪根对称轴你就以其上一点作为原点，左右转45度作为xy轴方向可好？这样是不是就把新问题化为沿着y = x对称的老问题了？

为什么想到这个方法来证明，而省去那些复杂的平移和变换操作来说明呢？

因为高中物理学过，运动是绝对的，对运动的描述是相对的；高中数学学过，化归的数学思想方法。

怎么样，读书还是有点用吧？

本系列的数学魔术精彩还刚刚开始，后面文思泉涌，精彩继续！

有视频先睹为快，看看你能不能找到里面的数学性质！