数值积分|二元函数的高斯积分

fem178

发布于 2020-05-08 09:13:58

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一元函数高斯积分的积分区域为[-1,1]，二元函数的高斯积分区域为

$[-1,1] \times [-1,1]$

，也就是一个边长为2的正方形区域，称为标准区域。

考虑二重积分

$I=\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}f(\xi, \eta)d\xi d\eta$

利用累次积分和一元函数的高斯积分公式可以得到：

$I=\int_{-1}^{1} \sum_{i=1}^n W_i f(\xi_i, \eta) d\eta$

$=\sum_{j=1}^n W_j [\sum_{i=1}^n W_i f(\xi_i, \eta_j)]$

或者

$I=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n W_i W_j f(\xi_i, \eta_j)$

这就是二元函数的高斯积分公式。其中W表示积分点权重，n表示积分点数目。n随着被积函数阶次增加而增加。

实际应用中，积分区域大多是非标准区域。比如

这时就需要将非标准区域映射到标准区域，即 x = x(ξ, η), y = y(ξ, η)

$x(\xi, \eta)=\sum_{k=1}^4 N_k(\xi, \eta)x_k$

$y(\xi, \eta)=\sum_{k=1}^4 N_k(\xi, \eta)y_k$

其中

$(x_k,y_k)$

是是xOy坐标系下四个顶点的坐标。

$N_k(k=1,2,3,4)$

叫做形函数。

$N_1(\xi, \eta)=\frac{1}{4}(1-\xi)(1-\eta)$

$N_2(\xi, \eta)=\frac{1}{4}(1+\xi)(1-\eta)$

$N_3(\xi, \eta)=\frac{1}{4}(1+\xi)(1+\eta)$

$N_4(\xi, \eta)=\frac{1}{4}(1-\xi)(1+\eta)$

xOy坐标系下一个无限小矩形区域面积

$dA = dx dy$

,而在坐标系

$\xi \eta$

下的面积

$dA_1 = d\xi d\eta$

$dxdy=|J(\xi, \eta)|d\xi d\eta$

可以得到

$\iint_{A}f(x, y)dx dy=\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}f[x(\xi, \eta),y(\xi, \eta)]|J(\xi, \eta)|d\xi d\eta$

$=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n W_i W_j f[x(\xi_i, \eta_j),y(\xi_i, \eta_j)]|J(\xi_i, \eta_j)|$

这里

$J(\xi, \eta)= \left[ \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi} \\ \frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \eta} \end{matrix} \right]$

是雅可比矩阵。

$dxdy=|J(\xi, \eta)|d\xi d\eta$

的证明见高数教材。

[算例]

利用高斯公式计算二重积分

$\iint_{A}(x^2+y)dx dy$

其中0<x<2,0<y<1/2x+2

四个顶点的坐标分别为(0,0),(2,0),(2,3),(0,2)

$\begin{equation}\begin{split} x(\xi, \eta)&=\sum_{k=1}^4 N_k(\xi, \eta)x_k \\ &=0+\frac{(1+\xi)(1-\eta)}{4}\times2+\frac{(1+\xi)(1+\eta)}{4}\times2+0\\ & =1+\xi \end{split}\end{equation}$

$\begin{equation}\begin{split} y(\xi, \eta)&=\sum_{k=1}^4 N_k(\xi, \eta)y_k\\ &=0+0+\frac{(1+\xi)(1+\eta)}{4}\times3+\frac{(1-\xi)(1+\eta)}{4}\times2\\& =\frac{(5+\xi)(1+\eta)}{4} \end{split}\end{equation}$

雅可比矩阵

$J(\xi, \eta)= \left[ \begin{matrix} 1 & \frac{1+\eta}{4} \\ 0 & \frac{5+\xi}{4} \end{matrix} \right]$

$|J(\xi, \eta)|=\frac{5+\xi}{4}$

采用4个积分点的高斯积分

$\begin{equation}\begin{split} I&=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n W_i W_j f[x(\xi_i, \eta_j),y(\xi_i, \eta_j)]|J(\xi_i, \eta_j)| \\ &=\sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 [(\frac{1+\xi_i}{2})^2+\frac{(5+\xi_i)(1+\eta_j)}{4}](\frac{5+\xi_i}{4})\\ & =\frac{1}{16}(6+3\xi_i+\xi_i^2+5\eta_j+\xi_i\eta_j)(5+\xi_i) \end{split}\end{equation}$

注意这里的

$\xi_i,\eta_j$

是高斯积分点的坐标,

$W_i=W_j=1$

。接下来用Python编程可得到结果。毕竟数值计算都要编程的。