自由漂浮机器人

1 自由漂浮机器人定义：

漂浮基座机器人存在动力学耦合，机械臂的关节运动将会引起基座位置和姿态的改变。根据基座的控制方式，可以将漂浮基座机器人分为四种模式：

(1) 自由漂浮状态，即漂浮基座机器人基座的位置和姿态均不受控，在无外力作用下，漂浮基座机器人系统满足线动量守恒和角动量守恒，基座的运动是由于机械臂运动引起的干扰；

(2) 自由飞行状态，即漂浮基座机器人的基座姿态受控，位置不受控，漂浮基座机器人基座的位置会因为机械臂的运动而产生扰动；

(3) 基座位姿固定状态，即空间机械臂运动引起的基座扰动会成为基座的控制系统的负载，基座的运动状态是由基座控制系统决定。此种情况下，空间机械臂的运动控制和柔顺控制可以类比固定基座机械臂；

(4) 基座位姿机动状态，即漂浮基座机器人主动进行基座位置和姿态的调整，基座的运动状态直接由基座控制系统决定，空间机械臂进行笛卡尔运动控制和柔顺控制时需要考虑基座的状态。

free-floating robot

Canada ARM

2自由漂浮机器人运动和动力学：

漂浮基座机器人运动学是指机器人笛卡尔空间任务变量与关节空间运动变量之间的关系，即漂浮基座机器人的运动学涉及到基座的状态、关节状态、以及末端运动状态。对于固定基座机械臂，机械臂末端执行器的惯性坐标系下的位姿取决于当前关节位置以及机械臂的几何参数。但是对于自由漂浮漂浮基座机器人，机械臂末端执行器在惯性坐标系下的位姿不仅取决于关节位置于机械臂的集合参数，还收到机械臂的动力学参数以及关节运动历史轨迹有关。因此，漂浮基座机器人的正向运动学和逆向运动学属于动态问题。

Z. Vafa提出了虚拟机械臂VM(Vitual Manipulator)的漂浮基座机器人运动学建模方法，该方法是一种运动学等效方法，虚拟机械臂末端的运动与真实漂浮基座机器人上末端相同点的运动保持相同。此外，该方法还用于研究闭链机器人系统。Y. Umetani和K. Yoshida将漂浮基座机器人系统的动量守恒方程于系统的微分运动方程联立，得到直接反映漂浮基座机器人关节角速度于末端执行器在惯性系下的速度的微分表达式，相应的雅可比矩阵被称为漂浮基座机器人广义雅可比GJM(Generalized Jacobian Matrix)。漂浮基座机器人GJM包括了系统的运动学参数以及动力学参数，且GJM的引入使得分解运动速度控制以及转置雅可比控制等方法可以引入到漂浮基座机器人领域。由于GJM严重依赖质量属性参数，当末端负载变化、基座燃料减小时，广义雅可比也会相应的发生改变，从而增加了机械臂的控制难度。

机器人的动力学建模原理主要有牛顿欧拉法、拉格朗日方法、凯恩法、罗伯特-维滕伯格法以及高斯最小约束原理。不同的动力学建模方法其计算量和所选择的运动量不尽相同，但是最终得到的漂浮基座机器人的动力学特性却是相同的。E. Papadopoulos采用拉格朗日方程建立漂浮基座机器人的动力学模型，该模型忽略了重力对漂浮基座机器人的影响。

漂浮基座机器人的动力学方程同样可以通过其他算法计算得到，但是基于上述原理得到的漂浮基座机器人的动力学建模过程较为繁杂，尤其是对于多自由度漂浮基座机器人，相应的计算量也会大大增加。此外，基于关节空间惯量矩阵的动力学算法以及基于铰接体概念的漂浮基座机器人递推算法也在之后的研究中相继提出。在Walker和Orin的研究中，基于组合体的概念求解惯量矩阵的方法被视为一般机械臂计算效率最高的建模方法。在Featherstone的研究中，其最先引入铰接体，基于此概念建立了机械臂的递推动力学模型，并且将其扩展到漂浮基座机器人。Rodrigue和Jain提出的空间算子代数方法被成功用于建立各式机器人的动力学模型。机器人的递推动力学对于自由度较多的机器人动力学建模具有明显的计算效率优势。在上述算法中，对于自由漂浮漂浮基座机器人的逆动力学，在已知关节运动情况，求解机械臂各个关节驱动力以及基座运动问题，该过程可以视为动力学混合问题，其求解过程需要结合动量守恒定律等。

3 自由漂浮机器人非完整路径规划

漂浮基座机器人的线动量以及角动量均守恒，其中线动量是完整约束，其可以积分为位置约束，角动量是非完整约束。对于漂浮基座机器人的非完整路径规划，其主要是通过控制n个变量以达到控制n+3个任务收敛到期望状态。Vafa和Dubowsky提出利用规划关节的特殊运动来实现基座姿态的调整，该方法中引入了虚拟机械臂的思想，根据该算法的特征，将其命名为自校正运动法。在该算法中，机械臂的关节运动假设足够小，因而忽略了系统二阶非线性项，但是多次的关节运动才能实现较小的基座姿态调整，且姿态的调整值无法实现连续性值变化。学者Nakamura提出了Lyaponov的漂浮基座机器人路径规划方法，该方法利用漂浮基座机器人的状态方程，在此基础上定义李亚普函数，进而选取合适的关节运动以实现基座姿态的调整。为了克服其渐进收敛的不稳定的缺点，作者相继又提出了漂浮基座机器人双向搜索的路径规划算法，但是该算未经稳定性证明，且算法规划出的机械臂关节角度不平滑。学者K. Yamada引用变分法规划关节路径，从而实现基座姿态的调整。于此同时，T. Suzuki和Y. Nakamura在其基础上，提出基于螺旋轨迹的漂浮基座机器人路径规划算法，其可以实现末端位置、姿态以及基座姿态的任意改变。该算法中通过合理的规划机械臂的闭合路径，可以将末端执行器送至期望的位姿且将调整基座到期望的值。但是算法本身的计算稳定性会受到漂浮基座机器人动力学奇异DS (Dynamics Sigularity)的影响。此外，E. Popadopoulos通过规划多项式函数约束机械臂各个关节的轨迹，通过求解多项式函数中的系数来规划漂浮基座机器人的运动路径。算法本质上利用漂浮基座机器人的非完整冗余特性，规划机械臂的运动使得其基座姿态得到调整。Xu等人则针对6自由度漂浮基座机器人系统，通过正弦函数对机械臂各个关节进行参数化，采用遗传算法搜索关节关节运动轨迹，从而实现可以用于捕获后目标的停靠以及基座姿态重稳定的路径规划。Femandesp等人则根据猫在做自由落体运动过程中可以调整自身的着地姿态的事实，研究了可以实现基座姿态调整的耦合刚体的路径规划方法。该方法在实际计算前需要大量的微分方程的符号计算，对于自由度较多的漂浮基座机器人，计算复杂性也相应增加。

4 自由漂浮机器人笛卡尔路径规划

对于漂浮基座机器人的笛卡尔路径规划，一方面，基于GJM的运动规划策略会受到GJM奇异的影响，即惯性系下的某方向上的微小位移将会引起关节空间无限大的速度变化，GJM的奇异不仅与漂浮基座机器人系统的运动学参数有关，还涉及到漂浮基座机器人系统的动力学参数，因此，GJM的奇异被成为 动力学奇异。另一方面，定义漂浮基座机器人所有奇异臂型所对应的笛卡尔空间的点集合成为漂浮基座机器人路径相关工作空间PDW(Path Dependent Workspace)，而除此之外的可达工作空间成为漂浮基座机器人的路径无关工作空间PIW(Path Independent Workspace)。当机械臂工作在PIW内时，动力学奇异不会发生；当机械臂工作在PDW内时，则有可能会遇到动力学奇异，机械臂遇到动力学奇异，需要及时采取动力学奇异回避的路径规划算法，以防止关节角速度和笛卡尔任务速度的突变。

固定基座机械臂的运动学仅仅和系统的几何参数相关，且位置级别的逆运动学一般属于专用型逆向运动学，即需要根据特定的机械臂构型来设计。机械臂的逆运动学封闭解可以得到相应的末端位置和姿态对应的全部关节空间解，但是一般特殊构型的机械臂构型才具有逆运动学封闭解，如具有三个相邻关节轴线平行的Duffy构型，以及相交于一点的Pieper构型机械臂。即使是针对目前特殊构型的机械臂，尚没有统一的逆运动学封闭解方法。对于冗余机械臂，机械臂在完成主任务的同时尚有冗余自由度完成优化任务。冗余自由度大大增加了机械臂的运动灵活性，其在服务机器人领域应用广泛。由于关节空间维数大于操作空间维数时，将此类冗余度定义为本质性冗余度；操作空间维数大于任务空间维数的冗余度定义为功能性冗余度。功能性冗余度的研究一般是针对工业机器人。在此，我们一般提及的冗余度为本质性冗余度。对于位置级别的逆向运动学，采用参数化封闭解等方法根据优化指标进行逆向运动学计算，如引入额外的附加参数(臂角与参数化关节等)，由此可以得到扩展的任务，由此得到机械臂的解析逆解。Modradi等给出了冗余机械臂的逆运动学封闭解，并且建立了关节限位指标以及附加参数之间的关系。Shimizu建立了具有SRS(Spherical-Roll-Spherical)关节分布的机械臂的逆运动学解析解，该解析解中引入了机械臂的臂角概念，并在此基础上研究了关节限位指标对机械臂臂角的影响，但是此种方式每步的数学计算较为繁琐，关节角度限位指标与臂角之间的数学关系表达式也较为复杂。基于臂角的冗余机械臂逆运动学研究，也有很多其他学者进行了详细的研究，包括障碍回避、关节极限与自碰撞问题、构型控制以及参数优化问题。对于空间机械臂，由于其逆运动学不仅与几何参数相关，还与机械臂的动力学参数相关，因此，无法用一个纯几何参数组成的扩充任务解算漂浮基座机器人惯性坐标系下的逆运动学，因而无法实现其笛卡尔路径跟踪任务。

冗余机械臂的微分逆运动学一般可以增加额外的优化任务。最常用的是梯度投影算法GPM (Gradient Project Method)，文献中第一次将梯度投影法应用于关节极限位置限位中。该算法中设计基于关节极限位置的优化指标，并在主任务的零空间中完成任务优化。此种思想也用于机械臂的奇异等指标优化中。此外，基于加权最小范数WLN (Weight Least Norm)的机械臂的关节优化控制任务也被很多学者研究。Colome等对比分析了速度级微分逆向运动学中的关节极限位置指标优化问题，但是其研究中的算法存在一定的累计误差，因而系统的收敛性和算法的计算稳定性难以得到保证。其他学者综合多种机器人逆向运动学方法，衍生出二次计算方法、梯度最小二乘以及模糊逻辑加权最小范数方法等算法。Flacco等针对七自由度机械臂提出一种新的零空间任务饱和迭代算法，当机械臂到达关节限位时，关节空间利用主任务的冗余度进行构型调整，从而使得机械臂回避极限位置。近年来，关于关节极限回避情况下的冗余机械臂运动规划成为了很多学者的研究方向，相应的改进策略也很多，如Jiang等提出广义加权最小范数解GWLN ( General-Weighted Least-Norm)来解决时间相关的约束。该算法中通过引入虚拟的关节来修正时间相关约束作用下的任务速度。Huang等采用修正的钳位加权最小范数方法CWLN ( Clamping Weighted Least-Norm)来提高加权项对逆运动学中的扰动问题，算法解决了权值切换下的关节速度不连续的问题。Abdelrahem等提出一种对关节反馈信号进行特殊处理以求解出机械臂关节硬极限约束下的在线路径跟踪策略。在仿人型机器人中，冗余度用来解决分层运动规划中的不等式约束问题，包括障碍回避、关节角度约束和关节角速度约束等，此外算法的实时计算优化也有较多的学者开展研究工作。