矩阵分析笔记（二）极大线性无关组

两个向量组之间的线性表示关系

设V是\mathbb{F}上的线性空间，\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p和\beta_1,\beta_2,...,\beta_q是V中的两个向量组，\beta\in V

1. 如果存在p个数k_i\in \mathbb{F},i=1,2,...,p，使得\alpha_1k_1+\alpha_2k_2+···+\alpha_pk_p=\beta，称向量\beta可由向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p线性表示
2. 如果每个\beta_j都可以由向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p线性表示，j=1,2,...,q。为了方便，\beta_1,\beta_2,...,\beta_q可由\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p线性表示，用符号记为\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}≤_{lin}\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}

线性表示关系的传递性

设V是\mathbb{F}上的线性空间，\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p；\beta_1,\beta_2,...,\beta_q；\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t是V中三个向量组。若

$$ \{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}≤_{lin}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}\\ \{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}≤_{lin}\{\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t\} $$

则\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}≤_{lin}\{\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t\}

证明：我们利用线性表示关系的矩阵表达。由存在T\in \mathbb{F}^{q\times p},S\in \mathbb{F}^{t\times q}满足

$$ [\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p]=[\beta_1,\beta_2,...,\beta_q]T\\ [\beta_1, \beta_2,...,\beta_q]=[\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t]S $$

得[\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p]=[\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t](ST)。由于ST\in \mathbb{F}^{t\times p}得证

扁（列>行）的齐次线性方程组必有非零解

设A\in \mathbb{F}^{m\times n},1≤m＜n，则齐次线性方程组Ax=0必有非零解

这里，m<n

证明：对m用数学归纳法

1. m=1时，n≥2。根据a_{11}是否为0分两种情况若a_{11}=0，则取\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ 0\\ \vdots \\0\end{bmatrix}，易知其为一非零解若a_{11}\neq0，由n≥2，可取\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{a_{12}}{a_{11}}\\ 0\\ \vdots \\0\end{bmatrix}，易知这样取得c为一非零解
2. 假设m≤p时命题成立，下面证明m=p+1的情形，此时n≥p+2，同样根据x_1的系数，也就是系数矩阵A的第一列\alpha_1=\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{p+1,1}\end{bmatrix}是否为0分两种情况若\alpha_1=0，则取c=\begin{bmatrix}c_1\\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ 0\\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}若\alpha_1\neq0，不妨设\alpha_{11}\neq0，则有与Ax=0同解的线性方程组\begin{bmatrix}a_{11} &a_{12}&\cdots &a_{1n} \\ 0 &0 & \cdots &0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & a_{p+1,2}-\frac{a_{p+1,1}}{a_{11}}·a_{12} & \cdots & a_{p+1, n}-\frac{a_{p+1,1}}{a_{11}}·a_{1n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}=0p个方程，n-1(≥p+1>p)\begin{bmatrix}a_{22}-\frac{a_{21}}{a_{11}}·a_{12} & \cdots & a_{2n}-\frac{a_{21}}{a_{11}}·a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{p+1,2}-\frac{a_{p+1,1}}{a_{11}}·a_{12} & \cdots & a_{p+1,n}-\frac{a_{p+1,1}}{a_{11}}·a_{1n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}=0\begin{bmatrix}x_2\\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_2\\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}\neq 0，再取x_1=c_1=-\frac{1}{a_{11}}(a_{12}c_2+···+a_{1n}c_n)，易知\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_1 \\ c_2\\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}\neq 0是方程组Ax=0的非零解。证毕

线性表示与线性无关性

设V是\mathbb{F}上的线性空间，\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p和\beta_1, \beta_2,...,\beta_q是V中两个向量组。若\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p线性无关，且\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}≤_{lin}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}，则p≤q

证明：用反证法，假设p<qT\in \mathbb{F}^{q\times p}，使得

因为扁的齐次方程组必有非零解，所以存在c\in \mathbb{F}^p非零，使得Tc=0。上述等式两边右乘c得

因为c\in \mathbb{F}^p非零，此结论与\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p线性无关矛盾，证毕

以少表多，多必相关

\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r与\beta_1, \beta_2,...,\beta_s是线性空间V中的两个向量组。若：

1. \alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r可由\beta_1, \beta_2,...,\beta_s线性表示
2. r>s

则\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r线性相关

证明：因为\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\}≤_{lin}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_s\}，所以\exists A\in \mathbb{F}^{s\times r}，使得

于是有r(\begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_r\end{bmatrix})≤min\{r(\begin{bmatrix}\beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_s\end{bmatrix}), r(A)\}≤s<r

即r(\begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_r\end{bmatrix})<r\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r线性相关

推论：若\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\}≤_{lin}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_s\}，且\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r线性无关，则r≤s