Carhart四因子模型A股实证（附源码）
01
说明
接上一篇《Fama-French三因子回归A股实证》，继续写Carhart四因子模型，整个过程比较容易，还是基于Fama三因子的框架，多加进去一个动量因子进行回归。全文的代码数据论文获取请在后台回复“C4"。
贴上论文原文对于模型的说明如下
三行公式，第一行为CAPM，第二行为Fama三因子模型，第三行为四因子模型，其中，RMRF是市场因子，也就是我们上一篇中的MKT，PR1YRt是作者构建的动量因子，本文我们用UMD表示。
对于动量因子的定义，原文说明如下，黄字部分
解释一下，每月末计算所有股票前2-12个月末的收益率，构建投资组合：前30%的等权组合，后30%的等权组合，二者收益率的差值定义为动量因子，组合月度调整。
从定义来看，和Fama三因子的差异主要有两点，首先是组合是等权的，Fama三因子中的组合都是市值加权的，其次组合是月度构建的，三因子中的组合的年度构建的。最后需要说明一点，这里用2-12个月的收益率实际上是剔除了最近1个月的收益率，原因主要在于美股市场是短期反转，长期动量的，剃掉最近1个月的反转，可以得到比较纯粹的动量。
之后的部分和Fama三因子差不多了，因变量相同，自变量多一个动量因子，这里我们沿用上一篇的方式进行回归，构建25个投资组合，做25次回归（原文回归的过程不是这样做的，细节可以参考原文）。
02
实证部分
数据还是之前用的那些，没有变化，先给出动量因子的计算过程。首先每个月末把所有上市公司按前2-12个月末的收益率分为三层
# 动量因子UMD
def split_UMD(x):
x.loc[x['UMD'] >= x.UMD.quantile(0.7),'group_UMD'] = 'UMD_H'
x.loc[x['UMD'] < x.UMD.quantile(0.3),'group_UMD'] = 'UMD_L'
return x
UMD = price.pivot(index = 'tradedate',columns = 'stockcode',values = 'price').pct_change(11).shift(1).fillna(0)
UMD = UMD.stack().reset_index()
UMD = UMD.rename(columns = {UMD.columns[2]:'UMD'})
f['group_UMD'] = 'UMD_M'
f = pd.merge(f,UMD,left_on =['stockcode','tradedate'],right_on =['stockcode','tradedate'])
f =f .groupby(['ym']).apply(split_UMD)计算最大组和最小组的等权收益率差值作为动量因子
# UMD因子
UMD_ret = f.groupby(['tradedate','group_UMD']).apply(lambda x:x.ret.mean())
UMD_ret = UMD_ret.reset_index()
UMD_ret = UMD_ret.rename(columns = {UMD_ret.columns[-1]:'ret'})
UMD_ret_pivot = UMD_ret.pivot(index = 'tradedate',columns = 'group_UMD',values = 'ret')
UMD = UMD_ret_pivot['UMD_H'] - UMD_ret_pivot['UMD_L']最后再把UMD因子和fama三因子进行合并，fama三因子的计算过程略去，可以看文章开头的链接
Carhart4 = pd.concat([SMB,HML,UMD],axis = 1)
Carhart4 = Carhart4.reset_index()
Carhart4.columns = ['tradedate','SMB','HML','UMD']
Carhart4['ym'] = Carhart4.tradedate.apply(lambda x:x.year*100 + x.month)首先看看四个因子的收益曲线
可以明显看出，A股是没啥动量的，反转要显著一点。
个人粗浅的理解，反转一定程度上可以表示投机性的程度。A股的反转比较显著，这和A股的投资者结构关系比较大，主要为个人投资者，投机性更强一些。而且反转因子具有明显的收益集中在空头的特征，实际上和投机的心理非常一致：投资者非常可能在获得很高的收益后马上平仓，规避风险，而在股票暴跌很多时候去抄底承担风险的，虽然也有，但肯定比前者要少很多。当然，反转的不对称性也和A股不能做空有很大的关系。
接下来看看四个因子的相关性情况
动量因子和其他三个因子的相关性都很低。
接下来做四因子回归，代码和之前也是基本类似的
### 四因子回归
x = f25.loc[:,['SMB','HML','UMD','mkt_rf','Intercept']].values
r2 = []
betas = []
t = []
p = []
for i in range(25):# i = 0
y = f25.loc[:,f25.columns[i+1]].values
mod = sm.OLS(y,x).fit()
r2.append([f25.columns[i+1],mod.rsquared])
betas.append([f25.columns[i+1]] + list(mod.params))
t.append([f25.columns[i+1]] + list(mod.tvalues))
p.append([f25.columns[i+1]] + list(mod.pvalues))
p = pd.DataFrame(p,columns = ['group','SMB','HML','UMD','mkt_rf','Intercept'])
t = pd.DataFrame(t,columns = ['group','SMB','HML','UMD','mkt_rf','Intercept'])
betas = pd.DataFrame(betas,columns = ['group','SMB','UMD','HML','mkt_rf','Intercept'])
r2 = pd.DataFrame(r2,columns = ['group','r2'])
p_percent_car4 = (p.iloc[:,1:]<0.05).mean()
alpha = betas[['group','Intercept']]
alpha['g_BM'] = alpha.group.apply(lambda x:x[2])
alpha['g_SIZE'] = alpha.group.apply(lambda x:x[-1])
alpha = alpha.pivot(index = 'g_SIZE',columns = 'g_BM',values = 'Intercept')
alpha = alpha.reset_index()
alpha = alpha.rename(columns = {'g_SIZE':'',
alpha.columns[1]:'small BM',
alpha.columns[-1]:'big BM'})
alpha.iloc[0,0] = 'small SIZE'
alpha.iloc[-1,0] = 'big SIZE'
alpha返回回归的p值、beta、r2、alpha。
对于四因子模型，主要说明三点：
首先，看回归的系数beta：
大部分回归里，动量的系数为负，再次说明主要是反转的贡献，不是动量。
其次，四因子回归系数的p值
统计其中5%显著性显著的回归个数
与三因子回归中显著的回归个数进行对比
可以看出，在加入UMD因子之后，系数的显著性没有降低。
类似的，统计三因子和四因子的25次回归里整体F检验的p值
也能看出，加入动量因子前，92%的回归是显著的，加入后，96%的回归是显著的，这说明动量因子确实包含有一些三因子模型无法解释的信息，可以提升三因子模型的效果。
03
最后
最后，也可以类比《基于Fama三因子的因子构建》一文，去构建基于四因子的相关因子，但从相关券商报告的结论来看，效果没有非常好的改善，所以也没有做过多的尝试，如果有兴趣，欢迎交流。
参考文献
Carhart M M. On persistence in mutual fund performance[J]. The Journal of finance, 1997, 52(1): 57-82.