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双线性弹塑性模型(二)

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fem178
发布2021-07-01 10:27:31
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发布2021-07-01 10:27:31
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文章被收录于专栏:数值分析与有限元编程

双线性弹塑性模型(一)

下面基于随动硬化模型来计算当前应力。

随动硬化模型和各向同性硬化模型的主要区别在于屈服面的变化。对于各向同性硬化模型,弹性范围(屈服应力的两倍)增大,而随动硬化模型弹性范围保持不变。

随着塑性应变的增加,弹性范围的中心平行于硬化曲线移动 为了模拟这种效应,定义了移动应力(shifted stress)

\eta

\eta = \sigma - \alpha
\alpha

称为返回应力(back stress),代表弹性范围的中心。返回应力被视为一个塑性变量,必须在每次迭代时进行存储和更新。

基于随动硬化模型来计算当前应力的步骤:

一) 弹性预测

应变增量假设完全弹性,并计算应力增量和试应力(trial stress)。

\Delta \sigma^{tr} = E \Delta \epsilon
\sigma^{tr} = \sigma^n + \Delta \sigma^{tr}

既然为完全弹性,

\alpha

也不变。

\alpha^{tr} = \alpha^n
\eta^{tr} = \sigma^{tr} - \alpha^{tr}

二) 检查屈服状态

检查试应力是否满足屈服条件,即

f^{tr} = |\eta^{tr}| - \sigma_Y^0

注意

\sigma_Y^0

是常数。如果

f^{tr} <=0

,则材料处于弹性状态。

\sigma^{n+1} = \sigma^{tr}

应变增量是完全弹性的,塑性应变没有改变。

\epsilon_e^{n+1} = \epsilon_e^n + \Delta \epsilon
\alpha^{n+1} = \alpha^n

如果

f^{tr} >0

,则材料已屈服。

\sigma^{n+1} = \sigma^{tr} -sgn(\eta^{tr}) E\Delta \epsilon_p
\alpha^{n+1} = \alpha^{tr} +sgn(\eta^{tr}) E\Delta \epsilon_p

除了在sgn函数中使用移动应力(shifted stress),应力更新公式与各向同性硬化模型应力更新公式基本一致。这里

sgn()

是符号函数。由于塑性应变增量仍未知,需要增加一个条件:在加载过程中,修正后的应力必须在屈服面上

|\sigma^{n+1}| - \sigma_Y^{0} =0
|\sigma^{tr} -sgn(\eta^{tr}) E\Delta \epsilon_p - \alpha^{tr} +sgn(\eta^{tr}) E\Delta \epsilon_p| = 0
|\sigma^{tr} - \alpha^{tr}| - \sigma_Y^{0}-(E+H)\Delta \epsilon_p =0
\Delta \epsilon_p = \frac {|\sigma^{tr}| - \sigma_Y^0}{E+H}=\frac {f^{tr}}{E+H}

由于

f^{tr}>0

,塑性应变增量总是正的。

接下来进入下一步迭代。

[算例]

对一根杆做拉伸试验,荷载分级加载。某一时刻应力

\sigma^{n}=200MPa

,塑性应变

\epsilon_p^n = 1E-4

,

\alpha^{n}=2.5MPa

.(1)材料此时处于弹性状态还是塑性状态?(2)当应变增量

\Delta \epsilon = -0.003

,计算应力和塑性应变。

E=200GPa,H=25GPa,\sigma_Y^0=250MPa

(1)

\eta^{n} = \sigma^{n}-\alpha^{n} = 197.5MPa<250MPa

材料处于弹性状态。

(2)

\Delta \sigma^{tr} = E \Delta \epsilon =-600MPa
\sigma^{tr} = \sigma^n + \Delta \sigma^{tr} =-400MPa
f^{tr} = |\sigma^{tr}-\alpha_n| - \sigma_Y^0 =152.5MPa>0

材料已压缩屈服。

\Delta \epsilon_p =\frac {f^{tr}}{E+H}=6.778E-4
\sigma^{n+1} = \sigma^{tr} -sgn(\eta^{tr}) E\Delta \epsilon_p =-264.4MPa
\alpha^{n+1} = \alpha^{tr} +sgn(\eta^{tr}) E\Delta \epsilon_p =-14.44MPa
\epsilon_p^{n+1} = \epsilon_p^n+ E\Delta \epsilon_p = 7.778E-4
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原始发表:2021-06-07,如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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