1.5.4 角度
在欧几里得空间中定义了距离和向量长度（范数）之后，就可以继续定义角度，以平面几何空间为例，如图1-5-9所示，设
\pmb u = \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}, \pmb v = \begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix} 两个向量，并且围成了三角形
\Delta OAB，其中角度
\theta 即为向量
\pmb u 和向量
\pmb v 之间的夹角。
图 1-5-9
对于
\Delta ABC，依据边角关系中的余弦定理，得：
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2(OA)(OB)\cos\theta
其中，
AB, OA, OB 分别代表三角形的三条边的长度，
OA, OB 又分别是向量
\pmb u, \pmb v 的长度（即范数）。所以：
\cos\theta = \frac {OA^2+OB^2-AB^2}{2(OA)(OB)}
又因为：
\begin{split}OA^2 + OB^2 - AB^2 &= \begin{Vmatrix} \pmb u \end{Vmatrix}^2 + \begin{Vmatrix} \pmb v \end{Vmatrix}^2 - \begin{Vmatrix} \pmb {v - u} \end{Vmatrix}^2 \\ &= (a^2 + b^2) + (c^2 + d^2) - [(c-a)^2 + (d-b)^2] \\&= 2ac + 2bd \\&= 2\pmb u \cdot \pmb v \end{split}
2(OA)(OB)=2\begin{Vmatrix} \pmb u\end{Vmatrix}\begin{Vmatrix} \pmb v\end{Vmatrix}
则：
\cos \theta = \frac {\pmb u \cdot \pmb v}{\begin{Vmatrix}\pmb u\end{Vmatrix}\begin{Vmatrix}\pmb v\end{Vmatrix}}
以上我们在平面几何空间中推导出了两个向量的夹角余弦，此结论也适用于所有的欧几里得空间。
★设
\pmb u, \pmb v 是欧几里得空间中的两个非零向量，它们的夹角余弦为：
\cos \theta = \frac {\pmb u \cdot \pmb v}{\begin{Vmatrix}\pmb u\end{Vmatrix}\begin{Vmatrix}\pmb v\end{Vmatrix}},\quad (0 \le \theta \le \pi)
”
如果把上述结论向内积空间推广，则角度的定义是：
★
\cos\theta = \frac{\langle \pmb u, \pmb v \rangle}{\begin{Vmatrix}\pmb u\end{Vmatrix}\begin{Vmatrix}\pmb v\end{Vmatrix}}
”
结合图1-5-9和上述对角度定义，不难发现，如果
\theta 角度越小，两个向量越趋于一致（包括大小和方向）。可以考虑一种极端条件，当
\theta = 0 时，
\cos\theta = 1，即
\langle\pmb u, \pmb v \rangle = \begin{Vmatrix}\pmb u \end{Vmatrix}\begin{Vmatrix}\pmb v \end{Vmatrix}，由此可得
\pmb u = \pmb v。如果用距离来衡量，比如欧几里得距离也是
0 。
当
\theta=\frac{\pi}{2} 时，
\cos\theta=0，即
\langle\pmb u, \pmb v\rangle=0，在欧几里得空间中，即为
\pmb u \cdot \pmb v = 0，以几何的方式表现就是两个向量相互垂直，也称正交（参阅3.4.1节）。例如我们已经熟知的三维几何空间的一个标准基
\begin{Bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\end{Bmatrix} 中的向量就是两两互相垂直。显然，这样的向量是线性无关的。
前面用scipy.spatial.distance中的函数cityblock()计算了向量间的曼哈顿距离，此模块中也有与余弦值计算相关的函数cosine()，但是注意：所计算的并不是两个向量夹角的余弦值
\cos\theta，而是
1-\cos\theta。
import numpy as np
from scipy.spatial.distance import cosine
a = np.array([1, 0, 0])
b = np.array([0, 1, 0])
cosine(a, b)
# 输出
1.0
上述代码中的两个数组所表示的向量是正交的，根据两个向量夹角余弦的定义，它们的夹角余弦值应该是
0，但这里的实际输出的结果是
1。
余弦反应的是两个向量的夹角大小，在前面的讨论中也可以看出来，夹角越小，两个向量越趋同，因此可以用夹角的余弦来度量两个向量之间的相似程度（称为“余弦相似度”）。例如一种特殊情况，当两个向量相同的时候，
\theta=0 ，
\cos\theta=1 。夹角越大，两个向量的相似度越小。1.5.1节中探讨的向量间的距离与此异曲同工，基于距离分类，就是将更相似的向量归为一个类别。距离、余弦是以不同方式度量向量的关系。
余弦相似度的最典型应用就是判断文本内容的相似程度，这是自然语言处理（natural language processing，NLP）中的一项计算。例如有如下两条文本：
- 文本1：数学是基础，基础很重要
- 文本2：数学很重要，要打牢基础
按照人的理解，以上两条文本虽然文字不完全相同，但表达的意思是一样的。那么，用余弦相似度来衡量，也会得到此结论吗？
为了计算余弦相似度，先根据1.1.1节所述，将两个文本向量化，如表1-5-1所示。
表1-5-1
从而可以用如下两个向量表示两条文本：
\pmb d_1 = \begin{bmatrix}1\\1\\2\\1\\1\\0\\0\end{bmatrix}, \quad \pmb d_2 = \begin{bmatrix}2\\0\\1\\1\\1\\1\\1\end{bmatrix}
计算这两个向量夹角的余弦值：
\cos\theta = 0.7，即上述两个文本的相似性为0.7。当然，在真实的NLP项目中，一般要计算1.1.1节中提到的tf-idf的值。
