对称、群论与魔术（一）——对称性本质探索

在上一个讲对称与魔术的系列《对称与魔术初步（六）——魔术《4选1的诅咒》等》中，是继承了再早的一个系列《循环、递归与魔术（五）——再谈递归的魔术逻辑与欣赏》而来。后者更多强调的是时序结构上魔术流程的结构规律，能够让观众深深吸引；而前者则是一种静谧之美，用对称这等要素去呈现一番美的结局。

这个系列我们继续讲对称，而且要真正透过现象看不止，去揭开对称背后真正的数学结构的秘密。

面对更复杂的对称性

当时我们聊到对称的本质是不变性，是指某特性不随数学转换而变化，自然其范畴也不止几何图形的表面而已。哪怕就是几何图形本身，当变得像足球烯，晶胞这等足够复杂时，似乎之前那点知识也难以说清楚这其内在的结构，需要引入新的数学工具去描述和解决了。

比如，我好像觉得有点数不清魔方到底有多少种对称的拧法；这个足球烯和甲烷，甚至有些更复杂的结构，我也数不清，理不清他们的关系了。不过至少，可以把这些所有的针对同一个对象的对称操作合在一起构成一个集合，而且看起来，这个集合还因为每个元素都是同一个对象的对称操作而有着特殊的运算联系。并产生了一些问题：

比如，拿着魔方顶部一层连续顺时针拧90度4次，不仅恢复原状，而且是真的按照原来的每个块的编号各就各位的，这种性质怎么描述？

都是朝左和上各拧一次，先拧后拧到底有没有区别？

足球烯和甲烷，嵌在一个固定的模型里，每个顶点或面都有不同颜色区分地话，到底有多少种摆放方法？

而且，我还隐隐约约觉得，这种有着远超一种操作的对称图形或几何体，比如正二十面体，截半立方体等等，其给人美感的程度也远远超过一般的等腰三角形，长方形，正方形之流，那这种有一堆对称性的对象，我们该用怎样的数学结构来描述和解决呢？

好了，问题已经出现了，单单靠集合的知识已经超出处理范围了，面对复杂多重出现的对称，现有的数学工具已经说不清，道不明了。

数学家们应声出现，来用深邃的数学抽象思维，把这个问题安排得明明白白，透透彻彻。

对称性的群论描述探索之排列

没错，这就是群论。

群论的发现始于对称，但借助数学的抽象力量，它又不止于对称，并把世界上看似无关的对象用统一的数学模型来描述了，是数学抽象世界本质的又一典型绝佳的案例。

我尝试以我浅薄的理解来说明，从对称性描述，是怎么一步步导出教科书上关于群论的定义里那一大堆摸不着头脑却又那么自洽的公理的。并且我想说的是，数学虽然是形式科学，但是从来不是凭空捏造，毫无事实依据的，只是有时候实在抽象得太深遂，太本质，也懒得和不爱思考的大众说明白罢了。

我们首先来用集合语言定义一下图案和几何图形好了。一幅画，或任意图案，都可以看成是一个二阶张量，或言之，给定精度下就是一个定维矩阵的数据Pmn。表示出来是一个数表，本质结构则是(i, j)的二元组，i, j取[1, n]的整数，到各自位置坐标对应的像素值的映射，那也就是个大小为mn的二元组和像素值空间组成的二元组((i, j), p)的集合了。元组前项是个离散值，可编号为1：mn，后项虽然某些像素值可能相同无法分辨（后面我们会知道，正是这个无法分辨性，构成了性质相同的基础），我们带上其位置信息自然也是不同的元素，相当于假设每个像素值都不同，也可以编号为p1:mn。

于是这幅画就被解构建模成了一个奇怪的样子，即1：mn到p1：mn两个集合之间的双射，而且满足f(x) = px。为什么要这么玩呢？我们不妨继续想象。假设每个像素点是一块拼图，带有其编号对应的特殊颜色，都不相同需要分辨，那这副拼图的拼法就是mn！种，每一种都是拼图结果集合中的一员，就这个性质而言，是不是只要你不丢失替换一块，就一定成立了？这不就是对称性的意思吗？一个拼图不管你怎么拼，都是拼图集合中的一员。也完全可以编码成一个特殊排列。

但是那些拼成乱七八糟样子的结果说是都在集合中，实在没什么现实含义，我们不妨来看一种真的看起来相同的对称性质，即肉眼可见的图形呈现出来的不变性。我们并不要求排列要一模一样才对称不变，只需要每个编号对应的颜色呈现f(i)函数不变即可，这样，同一个呈现应该就会有很多排列p(mn)满足条件，这些排列一起构成一个集合。

举个例子，假设整个拼图上只有A个像素点的值无法区分，若要两幅图完全相同，则其余元素应当各处其位，这A个像素点可以以任意排列拼上，呈现出来的样子都完全相同，于是这A!种方法的拼法对应的这么多种排列构成一个对称的集合，即从一个初始的参考拼法e开始，其经过一轮变换变成一共A!种的排列，它们呈现出来的样子是一模一样的！

嗯，这种一摸一样，就和我们看到的所谓的图形的对称性比较接近了，我们给每个初始位置的像素点值进行编号是为了研究时候的区分。就像在正n边行对称研究的时候总是涂上不同颜色表示不同元素，此时这个图形就不再具有带颜色的对称不变性了，而是忽略颜色的原来那个样子才有对称性了。

不过这里离我们描述对称的数学工具还差一步，操作。什么意思呢？

刚才说了，拼图的全集和p(mn)集合一一对应，而实际上排列本身又被建模为一个自身到自身的双射，脱离自变量本身而成为一种集合对象。于是这也等价于一种操作，即，全部打乱，并依次按照排列p(mn)k的值，把编号为p(mn)k的拼片放在编号为mn的位置上，共mn次，完成整个拼图。数学上的话，可以略去这依次的过程，看作是一种瞬间的变换，并用这个自身双射来描述。

于是你会发现，这个映射不仅对1：mn的原排列管用，对已经是p(mn)的排列还可以复合上去，变成一个f1(f2(x))，而且仍然保持是一个双射，这个复合过程我们叫做操作。可以看到，如果共用起点元素，操作和呈现的元素本身是一一对应的。

这整个的拼图全部的排列如果都可以遍历到，这个对应的群后面就知道，叫做排列群了，但是，不是所有的几何变换都如像素级别的全部随意操作这么自由。对，是几何变换，即我们并不太接受把一幅图像拼图一样全拆了再随意拼回去保持看起来不变的这种变换是一个对称的几何变换，虽然是个对称变换，符合对称定义，但是不几何。

对称性的群论描述探索之几何变换

我们接着来看一个抽象的几何对象，正六边形。我们知道，多边形这个几何对象可以用点的排列来定义，表示这些点依次首尾相连的线段（也可以看作点的二元组）的并集。一般的图案，其上的一些操作，如旋转，平移，对折等物理上存在的操作，都只有在图案有某种特殊性时候才存在，否则得是可以如上拼图对应为任意特定排列操作的对象就总能看起来不变了。

显然我们研究的其实就是这些不同类几何变换操作的看起来得不动点图案，并视之为对称图形。

回到正六边形，显然我们以其中心旋转60度的操作，是对称不变的。这是现象，而本质上，我们只需要关心这六个顶点的排列，这等价于一个r = (1 2 3 4 5 6)的轮换表示的排列，可以反复作用于原来初始的e = (1, 2, 3, 4, 5, 6)的原始排列上，以形成新的元素。包括原始一共有6个排列，分别是从1~6开头，并依次循环递增取模下去的6元排列。注意，6次以后，这个排列回到自身，完完全全的原排列，这在几何上是旋转的性质，抽象出来就是这个操作有f ^ 6(x) = x的性质，不动点说就是六边形是绕中心旋转60度这个操作的6周期集合点。

另外，其明显还有一个轴对称性，会对应映射f = (6, 5, 4, 3, 2, 1) = (1 6) (2 5) (3 4)。这是个二阶操作，二次恢复原状；再经过旋转60度，又是6个元素；还满足frfr(x) = x。这完全是几何操作的抽象数学描述，看起来已经不是表面的样子了，却是这一几何变换的本质属性特征。

我们还发现，不管怎么操作，一共也逃离不了一共12个元素的全集，它们都用排列表示，且都可以表示成f和r两个基本操作对初始e排列的操作。

那这样一个结构到底该用怎样的数学结构来描述呢？

我们下回见分晓！

老规矩，魔术抢先看！

视频1 Tic-tac-toe的奇迹

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我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。