考研竞赛每日一练 day 27泰勒展开估阶证明导数满足的关系

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:51:33

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泰勒展开估阶证明导数满足的关系

若函数

f(x)

在

[0,1]

在二阶可微，且

f(0)=f(1)

，

|f^{''}(x)|\leq 1

，证明：在

[0,1]

上

|f^{'}(x)|\leq \dfrac{1}{2}

解析：利用泰勒公式，有

f(x)=f(x_{0})+f^{'}(x)(x-x_{0})+\dfrac{1}{2!}f^{''}(\xi)(x-x_{0}^2)\qquad(x_{0} < \xi < x)

取

x_{0}=0,1

，则有

f(0)=f(x_{0})-f^{'}(x_{0})x_{0}+\dfrac{1}{2!}f^{''}(\xi_{1})x_{0}^2\qquad(0 < \xi_{1} < x_{0})

f(1)=f(x_{0})+f^{'}(x_{0})(1-x_{0})+\dfrac{1}{2!}f^{''}(\xi_{2})(1-x_{0}^2)\qquad(x_{0} < \xi_{1} < 1)

将上式进行相减有

f^{'}(x)=\dfrac{1}{2}f^{''}(\xi_{1})x_{0}^{2}-\dfrac{1}{2}f^{''}(\xi_{2})(1-x_{0})^2

根据题意，

|f^{''}(x)| \leq 1

，两边取绝对值，

|f^{''}\leq \dfrac{1}{2}|f^{''}(\xi_{1})x_{0}^{2}|+|\dfrac{1}{2}f^{''}(\xi_{2})(1-x_{0})^2|\leq \dfrac{1}{2}x_{0}^2+\dfrac{1}{2}(1-x_{0})^2=(x_{0}-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{4}

显然当

x\in (0,1)

，原式在

x=0(1)

取的最大值，则有

|f^{'}(x)|\leq (0-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}

，即得证。

作者：小熊

写作日期：2021-11-08

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原始发表：2021-11-08，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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