在逻辑代数中,卡诺图(Karnaugh map)是真值表的变形,它可以将有n个变量的逻辑函数的2^n
个最小项组织在给定的长方形表格中,同时为相邻最小项(相邻与项)运用邻接律化简提供了直观的图形工具。但是,如果需要处理的逻辑函数的自变量较多(有五个或更多的时候,此时有些项就很难圈了),那么卡诺图的行列数将迅速增加,使图形更加复杂。
格雷码(循环二进制单位距离码)是任意两个相邻数的代码只有一位二进制数不同的编码,它与奇偶校验码同属可靠性编码。
格雷码能避免讯号传送错误的原理
传统的二进制系统例如数字3的表示法为011,要切换为邻近的数字4,也就是100时,装置中的三个位元都得要转换,因此于未完全转换的过程时装置会经历短暂的,010,001,101,110,111等其中数种状态,也就是代表着2、1、5、6、7,因此此种数字编码方法于邻近数字转换时有比较大的误差可能范围。格雷码的发明即是用来将误差之可能性缩减至最小,编码的方式定义为每个邻近数字都只相差一个位元,因此也称为最小差异码,可以使装置做数字步进时只更动最少的位元数以提高稳定性。 数字0~7的编码比较如下:
十进制 格雷码 二进制
0 000 000
1 001 001
2 011 010
3 010 011
4 110 100
5 111 101
6 101 110
7 100 111
格雷码的构建方法
直接排列:
镜射排列:
在进行化简时,如果用图中真值为0的项更方便,可以用他们来处理,方法和真值取1时一样,只是结果要再做一次求反。 这一部分主要以卡诺图为主。
以下结合例题介绍如何操作
F=Σm(1,5,6,7,11,12,13,15)
解题步骤:
AB\CD | 00 | 01 | 11 | 10 |
---|---|---|---|---|
00 | 1(1) | |||
01 | 1(5) | 1(7) | 1(6) | |
11 | 1(12) | 1(13) | 1(15) | |
10 | 1(11) |
F=AB+AC+B'C'+A'B'
解题步骤:
F=AB+AC+B'C'+A'B'
F=11x+1x1+x00+00x
x分别代入0和1,填入。
A\BC | 00 | 01 | 11 | 10 |
---|---|---|---|---|
0 | 1(x00)(00x) | 1(00x) | ||
1 | 1(x00) | 1(1x1) | 1(11x)(1x1) | 1(11x) |
若两个最小项相邻,则二者仅有一个变量不同。 n变量有n个逻辑相邻项。(每个变量都变一下,能变n下,故有n个)
解题步骤:
卡诺圈先找8个连续的1,然后找4个连续的1,然后找2个,直到所有的1都被圈起来。
F(A,B,C,D)=Σm(0,4,9,13,14)+Σd(2,5,7,8,10,15)
已知函数
Y=AB'C'+B'C'D+A'C'D+AB'CD'+A'B'CD'
中所有输入变量不能同时为0,且A,B变量不能同时为1。用卡诺图化简法化简该逻辑函数。
对于题干中的:
可以认为是无关项,在卡诺图中填充为x。
用卡诺图化简法将以下函数化简为最简与或形式 Y=CD’(A⊕B)+A’BC’+A’C’D 约束条件:AB+CD=0
如果逻辑函数比较复杂,无法写出它的最小项,那么就利用真值表来画卡诺图。
以下两幅图片来自博客园的大佬。 在此呈上链接:https://www.cnblogs.com/liuyz1996/p/15700133.html
前面的例子都是在化简成与或式。 如果要化简成或与式。
每个逻辑函数可能有多个最简与或和最简或与!
逻辑功能、逻辑表达式、卡诺图、波形之间的相互转换。
同或
A⊙B=A'B'+AB
一位全加器 输入中,Ci是来自低位的进位。 结果中,Co是高位,S是低位。
半加器
全加器和半加器的区别就是,全加器包含了来自低位的进位。
根据波形列出真值表、画出卡诺图
从逻辑电路图得到逻辑表达式时:
从逻辑表达式得到逻辑电路图时:
题目中将D作为了高位,我们写真值表时也应该按照题目的顺序来写。 画卡诺图时也应按新的顺序来写。
BCD码只能表示0-9十位数字,所以10-16就是无关项,在卡诺图中填x。 利用与或求与非的步骤:
组合逻辑电路的竞争与冒险是由于电路中存在延时引起的。 当卡诺圈存在相切时,就存在竞争与冒险。 要消除竞争与冒险,就要把相切的部分给消除掉。变成相交。