第二次数学危机——消失的鬼魂，贝克莱悖论

莱布尼茨开创了数理逻辑，提出了计算之梦，乔治·布尔则在此基础上完成了逻辑的算术化，在计算领域迈出了坚实的一步。

但要实现普遍语言和逻辑演算的梦想，数学还需要变得更加严格。

在历史发展过程中，数学不断经历着这样的严格化过程，将许多直观的想法沉淀为严格的理论。

而正是在对数学基础的质疑和尝试解决的过程中，数学家们建立了现在的计算理论。

这次回顾，要从第二次数学危机说起。

01

微积分的发明

数学中的三大分支是几何、代数和分析。

古希腊人发明了几何学，后来，欧几里得建立了公理化方法，并使该方法成为数学这门学科最重要的基本方法。

代数自算术发展而来，是计算方法在应用实践中的重要经验总结，成为计算理论涌现的源泉。

而到了17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立发明的微积分的计算方法，成为推动科学和数学发展的重要工具，并通过严格化运动，最终成为分析的基础。

由于微积分涉及无穷的概念，现在一般在大学本科教科书中才会出现。而且，教授顺序一般是先微分再积分。虽然这样从数学逻辑上更通畅，但是这与历史的发展恰好是相反的。在历史上是先有积分再有微分、级数、导数和极限概念的。

古希腊时期就有了积分思想的萌芽。

《几何原本》总结了欧多克索斯的穷竭法。

穷竭法最早由古希腊诡辩学派的安提丰在尝试解决“化圆为方”问题时创立。化圆为方是古希腊三大尺规作图难题之一，它要求画一个正方形，其面积恰好等于给定圆的面积。安提丰提出用圆的内接正多边形逼近圆面积的方法来实现化圆为方。他从正方形开始，演化出正八边形、正十六边形，重复这一步骤，逐渐“穷竭”，得到一个边长极微小的正多边形。安提丰认为这个正多边形的面积无限接近圆的面积，因此可以用这个方法来化圆为方。这当然是行不通的，在此不再赘述理由。但安提丰提出的穷竭法却被保留了下来，此后欧多克索斯将穷竭法严格化，使其成为一种严谨的证明方法。

欧多克索斯使用的穷竭法基于一个原理：“给定两个不相等的量，如果将比较大的量减去一半，然后将剩余的量继续减去一半，重复这个过程，最后必有某个余量小于给定的较小的量。”

这一原理可由公理推导得出。

欧多克索斯利用穷竭法，严格地证明了一些几何命题，这些证明被收录在《几何原本》中。后来阿基米德进一步发展了穷竭法，不仅用圆的内接多边形实现“穷竭”，还用圆的外切多边形实现“穷竭”，这样圆就被限定在两个多边形之间。阿基米德用这种方法求得圆周率的上界和下界分别为

和

，这是历史上第一次用科学方法求得圆周率的近似值。欧多克索斯和阿基米德在穷竭法中应用的思想已经非常接近定积分思想。

积分的思想虽然早在古希腊时期就已萌芽，但是微分的思想直到17世纪才出现。这一时期的一些重要问题，如运动的问题、求极值的问题，尤其是求切线的问题，推动了微分思想及其计算方法的出现。在解析几何创立后，许多数学家都加入了对这些问题的研究。笛卡儿、罗伯瓦尔、费马和巴罗等人都给出了一些方法。但这些方法有的依赖于直觉，有的则只能解一些特定的问题。而在求切线、极值、面积和体积等问题中，知识比较零散，也没有人将其关联起来发现一种一般性的方法。百废待兴之际，时代巨人即将登场。

牛顿和莱布尼茨在数学上的伟大贡献在于，分别独立发明了一种一般性的微积分计算方法。积分、微分的思想与方法并非他们首创，但是他们二人的确是历史上第一次采用一种通用的计算手段来计算积分与微分的人。他们引入了专用的数学符号，同时发现积分和微分是互逆运算，这构成了微积分基本定理。微积分的发明权在历史上有过争议，英国人指责莱布尼茨剽窃了牛顿的想法，而莱布尼茨则撰文予以反驳。

经历史学家考证，现在基本认定两人的发明是相互独立、各有渊源的。由于篇幅有限，在此不再赘述神仙打架的种种轶事。

牛顿是巴罗的学生。在牛顿26岁时，巴罗将卢卡斯数学教授一职让位给这位年轻的数学天才，而自己改任皇家牧师。

这一职位此后都由鼎鼎大名的人担任，其中包括狄拉克和霍金。

1665年，由于自己就职的大学流行瘟疫，牛顿回到乡下，度过了相当自由的两年。他的很多伟大想法，如微积分、光学和万有引力，都成形于这两年。

1666年堪称牛顿的奇迹年，他除了在物理学上做出了杰出的贡献，还留下了5000多页的数学手稿，但这些手稿大部分没有发表。莱布尼茨曾评价：“古往今来的所有数学研究，牛顿做了一大半。”而许多数学家也认为，阿基米德、牛顿和高斯是数学史上贡献最大的3位数学家。

牛顿发明的微积分方法，受到笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》的影响。

1665年11月，牛顿发明了流数术（微分法），而在次年又发明了反流数术（积分法）。用牛顿的话来说：“我把时间看作连续流的流动或增长，而其他量则随着时间而连续增长。我从时间的流动性出发，把所有其他量的增长速度称为流数；又从时间的瞬息性出发，把任何其他量在瞬息时间内产生的部分称为瞬。”

从这个解释来看，牛顿是从物理直观出发，借鉴了运动学中的速度，引入的流数概念。牛顿的定义通过时间直觉隐含了连续性，而他对瞬的定义本质上是无穷小，但并没有解释清楚瞬到底是点还是线段。

这些许含糊和尴尬之处也为第二次数学危机的爆发埋下了隐患。

但牛顿通过流数法，很清晰地建立了微分和积分的联系，即它们是互逆的运算。他敏锐地洞察到，可以从确定面积的变化率入手，通过反微分计算面积，面积计算被看成求切线的逆过程。

1666年，牛顿将流数法总结成论文《流数简论》，这标志着微积分的诞生。此后牛顿又进一步借助几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比，提出“首末比方法”，并贯穿于他的著作《自然哲学的数学原理》和论文《曲线求积术》中。这是极限思想的雏形。

欧洲大陆的莱布尼茨则走了另一条路。莱布尼茨在惠更斯的指导下走上数学研究的道路。

当时的数学家普遍在关心曲线切线、曲线围成的面积和立体图形的体积等问题。1673年，莱布尼茨注意到帕斯卡在解决圆的面积问题时引入了“特征三角形”，突然意识到这个方法可以被推广到更一般的情况：对任意给定曲线都可以构造这种特征三角形（微分三角形）。

此后，他应用这种特征三角形解决了各类面积、曲线切线的求解。在惠更斯的建议下，莱布尼茨研究了笛卡儿的理论。他曾表示：“根据笛卡儿的微积分，可以把曲线的纵坐标用数值表示出来。……求积或求纵坐标之和，同求一个纵坐标（割圆曲线的纵坐标），使其相应的差与给定的纵坐标成比例，是一回事。我还立即发现，求切线不过是求差，求积不过是求和，只要我们假设这些差是不可比拟般小的。”

因此，莱布尼茨把微分看作变量相邻两值无限小的差，而积分则是由变量分成的无穷多个微分之和。于是他很自然地得到了微积分基本定理，即积分和微分是互逆运算。

1684年10月，莱布尼茨在《教师学报》上发表了一篇标题很长的论文《对有理量和无理量都适用的，求极大值、极小值和切线的新方法：一种值得注意的演算》。这篇论文只有6页，却总结了莱布尼茨在微分方面的所有成果，是公认的最早发表的微积分文献。

1686年，莱布尼茨又进一步发表了积分学的论文。莱布尼茨非常重视数学符号的使用，认为简洁有力的符号能够提高数学的效率。现在的许多符号都源自莱布尼茨，比如我们熟知的微分符号d。

欧洲大陆采用莱布尼茨的微分符号dx，这被称为“d主义”；而英国由于牛顿的影响力和门派之见抵制莱布尼茨的符号，采用了牛顿在流数法中使用的微分符号，在变量上面加一个点

，这被称为“点主义”。由于符号使用效率的不同，英国的数学发展落后欧洲大陆将近两个世纪之久，直到19世纪，在一群年轻数学家的努力下，英国才全面使用了莱布尼茨的符号。

02

消失的鬼魂：贝克莱悖论

在牛顿和莱布尼茨发明微积分的通用方法后，许多数学家在很多领域都应用这种方法得到了很好的结果，这进一步加强了数学界对微积分方法的信心。

但是这时却有一位哲学家站出来，指责牛顿和莱布尼茨的微积分理论中存在基础性的缺陷，根本是空中楼阁。他就是爱尔兰主教贝克莱。这时，“第二次数学危机”爆发。

贝克莱是一位著名的哲学家，他的哲学观点是“存在即被感知”，物质是虚无的，所谓的物质实体不过是不存在的抽象概念。贝克莱后来成为一位神职人员，他尝试调和宗教和科学的尖锐矛盾，为神学建立一个新的理论基础，同时接纳神学和科学。1734年，贝克莱在担任克罗因主教期间，在《分析学家》一书中对牛顿和莱布尼茨的微积分方法进行了强烈的批判。

贝克莱首先指出微积分中的一系列概念，如流数、瞬、消失量、最初比和最后比、无穷小增量、瞬时速度等都是相当模糊的。比如，对于瞬时速度，贝克莱认为既然速度离不开空间和时间区间，那么根本不可能想象一个时间为零的瞬时速度。而对于无穷小量，要设想一部分无穷小量，还有比它们更小的无穷小量，而且经过无穷次相乘也永远不能得到最微小的有限量。他认为这些说法是相当无理而荒谬的。

其次，贝克莱指出微积分方法中的一些问题。比如，在牛顿的流数术中，一些微小的变化增量在公式推导中有时为零，有时又不为零，相当灵活，这完全是不严谨的。贝克莱讥讽道：“这些消失的增量究竟是什么呢？它们既不是有限量，也不是无限小，还不是零，难道我们不能称它们为消逝量的鬼魂吗？”莱布尼茨的方法也有类似的问题，贝克莱认为莱布尼茨依靠“忽略高阶无穷小量来消除误差”的做法是从错误的原理出发，通过“错误的抵消”而得到他想要的结论。贝克莱一口气列出67个疑问，可谓刀刀见血。

在贝克莱看来，数学家和神学家没有本质区别，都秉持一种信仰。他提到：“那些对宗教教义持慎重态度的数学家，对待他们自己的科学是不是也抱着那样严谨的态度？他们是不是不凭证据只凭信仰来领会事物，相信不可思议的东西呢？”

贝克莱质疑的本质是，在微积分中无穷小量究竟是否为零，因为在牛顿和莱布尼茨的方法中，无穷小量有时为零，有时又不为零。由于微积分的用处很大，数学家们普遍支持，故将贝克莱的质疑称为“贝克莱悖论”。

与第一次数学危机的解决类似，微积分的根基不稳，反而成为推动数学持续进步的原动力。

03

分析的严格化

贝克莱对微积分的攻击言之有物、有理有据，数学家们即便心有不甘，想要反驳也必须拿出站得住脚的理论才行。

此后，数学家们不断尝试为微积分建立一个严谨的理论基础。

在18世纪，欧拉、达朗贝尔、拉格朗日都进行过尝试，但都没有成功。

欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，他在许多领域都有丰硕的成果。

在微积分领域，他创作了《无穷分析引论》《微分学原理》《积分学原理》，成为“分析的化身”。

但是欧拉对于无穷小量的解释依然是模糊的，他认为0∶0可以等于任意有限的比值。

无穷小量在他看来，实际上就是等于零的量。

“分析”一词最早是与综合法相对的，指假定结论为真，然后倒推回去。

韦达认为代数就是一种分析（倒推）法，方程的根是根据结论列出方程后倒推求出的。

在17世纪，分析是代数的同义词。牛顿和莱布尼茨都认为微积分是代数的扩展，只是以无穷作为对象进行计算，无穷小是其中最重要的概念，因此微积分又被称为无穷小分析。

在欧拉之后，分析一词变得更加流行，且欧拉通过对函数的定义，让分析的主要对象变成函数。在18世纪，数学家们并没有解决微积分的基础问题，但是分析的应用却蓬勃发展，出现了微分方程、复变函数、微分几何、解析数论、变分法、无穷级数等分支，这让分析和代数、几何并称为数学三大学科。

分析的重要性提高，迫切需要为它建立一个稳固的基础，但分析的严格化运动，要等到19世纪才最终完成。

为分析建立严格化基础的先驱是捷克数学家波尔查诺。他在尝试证明微积分中的介值定理时发现，必须先定义什么叫“连续函数”。于是他消除几何直观，给出数学上的严格定义。但波尔查诺的工作长期被埋没，真正在分析严格化上产生巨大影响力的是法国数学家柯西。

柯西一生在数学上相当高产，成果几乎涉及数学的所有领域，产量上可能仅次于欧拉。他曾自己创办刊物，专门发表自己的论文。此外，在《巴黎科学院通报》创刊后，他在20年内共发表了589篇文章，以致科学院不得不限制其他人递交的论文不得超过4页。柯西在1821年出版了《分析教程》和1823年出版了《无穷小计算教程概论》，这使得他成为分析严格化的集大成者。

柯西意识到，分析的核心问题在于极限的概念。他首先重新定义了极限：“当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值，最终与此固定值之差要多小就有多小时，就称该值为所有其他值的极限。”在极限定义的基础之上，柯西建立了对无穷小量、无穷大量、连续、导数、微分、积分等概念的严格定义。比如，对柯西来说，无穷小量是以零为极限的变量，这样就把无穷小量纳入了函数的范畴，2000多年来让人们无比困惑的无穷小量就这样被柯西驯服了。

同样，通过极限可以定义导数。有了导数，就可以清晰地解释什么是瞬时速度，从数学的计算上就可以清晰地证明物体运动的每一刻都有瞬时速度，这也反驳了芝诺悖论中的“飞矢不动”。

而对于积分，柯西坚持在计算积分前，首先要证明连续函数的积分是存在的，这成为分析从依赖直观到严格化的转折点。

此外，柯西还建立了无穷级数的完整理论，提出了绝对收敛和条件收敛的概念，解决了18世纪级数问题遗留的很多怪论。总的来说，柯西在分析上的贡献是决定性的，他的《分析教程》成为分析严格化运动的起点。

但柯西的理论还存在一些小缺陷，这些缺陷将由德国数学家魏尔斯特拉斯来弥补。

魏尔斯特拉斯一向以严谨著称，他所秉持的数学态度和编写的教材成为严格的典范和标准。

他认为柯西的极限概念中“一个变量无限趋于一个极限”的说法依旧存在运动上的直观，因此为了消除这种描述性语言的含糊，他给出极限的

定义，用不等式区间来严格表示极限，这就使极限和连续性彻底摆脱了对几何和运动的依赖，并得以建立在数与函数的清晰定义上。比如，可将函数

在

时的极限描述为：“任取正数

，总存在某一正数

，使得当

时，都有

。”此外，魏尔斯特拉斯还提出了一致收敛的概念，完善了级数的理论。

1872年，魏尔斯特拉斯提出了一个分析史上著名的反例。他构造了一个处处连续，但处处不可微的三角函数级数，震惊了整个数学界。这个函数被称为魏尔斯特拉斯的病态函数。魏尔斯特拉斯通过这个病态函数，非常充分地说明了通过运动建立的曲线，不一定有切线，因此微积分的基础应该消除几何直观，而只建立在数的基础上。如果当初牛顿和莱布尼茨发现了这个病态函数，说不定会沮丧到直接放弃微积分方法。但是魏尔斯特拉斯提出的病态函数，在19世纪却成为推动分析基础严格化的强心针，进一步使数学家们意识到，为分析建立严格基础，必须对实数系进行严格的定义。

德国数学家戴德金在实数的定义上迈出了关键的一步。1872年，戴德金在《连续性与无理数》一书中借助直线与实数的对应关系，非常巧妙地应用了一种被称为“戴德金分割”的方法，证明了稠密性和连续性是两种不同的性质，从而清晰地定义了实数的概念。

戴德金打了一个比方，如果用一把刀把直线砍成两段，那么必有一个断点，这个断点必然是两段直线中的一个端点。如果直线上只有有理数，此时考察有理数，就会发现有理数尽管是稠密的（两个有理数之间必有另一个有理数），但不是连续的！因为这一刀如果这么砍：将有理数集分成所有平方小于2的有理数和所有平方大于2的有理数，那这个断点是

，它不属于直线分割后两段中的任意一段，因为这个断点是一个无理数。

因此，如果直线上只有有理数，这一刀下去就砍出了一个缝隙，所以有理数不是连续的，这些缝隙需要无理数来填补，这样就清楚定义了无理数。

严格地说，有理数的一个分割就叫作一个实数，如果分割没有缝隙就是有理数，如果分割有缝隙就是无理数。

恰恰也是在1872年，魏尔斯特拉斯和康托尔分别建立了无理数的定义，从不同维度描述了实数的性质，这样完备的实数理论就建立了起来。

因此1872年被称为“无理数之年”。在古希腊毕达哥拉斯学派的希帕索斯被投入大海2000多年后，引发第一次数学危机的无理数终于得到清晰的定义，第一次数学危机至此才算真正完结。

同时，分析中要使用的实数概念，建立在了有理数分割的基础上，有理数又建立在了自然数算术的基础上，而自然数对很多数学家来说是基础和显然的，因此第二次数学危机中微积分的种种模糊概念就有了一个严谨且清晰的基础，第二次数学危机也就此终结了。

在这个过程中，专门的数学符号发挥了重要的作用。越来越多的数学家意识到数学概念与其他概念混用符号会引起很多混淆，尤其是和人类直觉有关的空间、时间等连续性概念。这也为皮亚诺、弗雷格和罗素的工作埋下了伏笔。数学也只有摆脱了从牛顿时代开始的对光学、力学和几何的直观依赖后，才能彻底用于独立性的思维。

然而，为了定义无理数，戴德金和康托尔不可避免地引入了无穷集合，这成为引发第三次数学危机的起点。

由此看来，数学史上的三次数学危机是连贯的，有其内在联系，可谓此起彼伏。

而计算的理论，就隐藏在这三次数学危机之中。

比如，康托尔的研究是从“函数的三角级数表达式的唯一性问题”开始的，然后触碰到无穷点集。

以上摘自吴翰清新作《计算》！