数据结构——A/复杂度
基础铺垫
1. 什么是数据结构？ 数据结构(Data Structure)是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的 数据元素的集合。
2.什么是算法？ 算法(Algorithm)：就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。
3.怎么学好算法
a.死磕代码； b.注意画图和思考。
4.数据结构和算法书籍及资料推荐
a.刷题《剑指offer》和《程序员代码面试指南》； b.做补充C语言版本严蔚敏、CPP殷人昆、看图《大话数据结构》； c.刷完上面的内容，我们童鞋还可以去刷刷 Leetcode。
一、算法效率
如何衡量一个算法的好坏呢？
1、算法的复杂度
算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。 时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
2、时间复杂度
2.1 概念
时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。 即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。
实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。
2.2 大O的渐进表示法
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法： 1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。 2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。 3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况： 1、最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界) 2、平均情况：任意输入规模的期望运行次数 3、最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x 最好情况：1次找到 最坏情况：N次找到 平均情况：N/2次找到 在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)。
2.3 常见时间复杂度计算举例
实例1：O(N)
//实例1
// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}实例1：基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)
实例2：O(N+M)
//实例2
// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N; ++k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}实例2：基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)
实例3：O(N)
//实例3
// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );
//等同于
while (*str)//遇到/0 为假跳出循环
{
if (*str == character)
return str;
else
++str;
}实例3：基本操作执行最好1次，最坏N次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N)
实例4：O(N^2)
//实例4
// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i - 1] > a[i])
{
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}实例4：基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1))/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)
实例5：O(logN)
//实例5
// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n - 1;
// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
while (begin <= end)
{
int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
if (a[mid] < x)
begin = mid + 1;
else if (a[mid] > x)
end = mid - 1;
else
return mid;
}
return -1;
}实例5：基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN) ps：logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N。有些地方会写成lgN。（建议通过折纸查找的方式讲解logN是怎么计算出来的）
总结：时间复杂度：冒泡排序：O(N^2) ；快排：O(N*logN)。
实例6：O(N)
//实例6
// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if (0 == N)
return 1;
return Fac(N - 1) * N;
}
//推广
long long Fac(size_t N)
{
if (0 == N)
return 1;
for(size_t i = 0; i < N; ++i)
{
//其他
}
return Fac(N - 1) * N;
}实例6：通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)；
推广：通过计算分析发现基本操作递归了N次，并且中间嵌套循环N次，时间复杂度为O(N^2)。
实例7：O(2^N)
//实例7
// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
if (N < 3)
return 1;
return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}实例7：通过计算分析发现基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)。