二叉搜索树虽可以缩短查找的效率,但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树,查找元素相当于在顺序表中搜索元素,效率低下。因此,两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年 发明了一种解决上述问题的方法:当向二叉搜索树中插入新结点后,如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整),即可降低树的高度,从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树,或者是具有以下性质的二叉搜索树:
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的,它就是AVL树。如果它有n个结点,其高度可保持在
,搜索时间复杂度O(
)
与搜索二叉树不同的是,这里需要三个节点,多一个父亲节点,为了我们后面对平衡因子进行调整。
template<class K, class V>
struct AVLreeNode
{
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
int _bf;
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
,_parent(nullptr)
, _kv(kv)
,_bf(0)
{}
};
--
b、插入在父亲的右边,父亲的平衡因子++
c、父亲的平衡因子等于0,父亲所在的子树高度不变,不再往上更新,插入结束
d、父亲的平衡因子等于1或者-1,父亲所在的子树的高度变了,继续往上更新
e、父亲的平衡因子等于2或者-2,父亲所在的子树已经不平衡,需要旋转处理
注意:更新中不可能出现其他值,插入前这个数是AVL树,平衡因子是1,-1,0,进行++
或者--
时只可能是上述cde三种情况。
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key, value);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else return false;
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
//更新平衡因子
while (parent)
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
//需要旋转
break;
}
else
{
//理论而言不可能出现的情况
assert(false);
}
}
return true;
}
上图在插入前,AVL树是平衡的,新节点插入到30的左子树(注意:此处不是左孩子)中,30左子树增加了一层,导致以60为根的二叉树不平衡,要让60平衡,只能将60左子树的高度减少一层,右子树增加一层,即将左子树往上提,这样60转下来,因为60比30大,只能将其放在30的右子树,而如果30有右子树,右子树根的值一定大于30,小于60,只能将其放在60的左子树,旋转完成后,更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中,有以下几种情况需要考虑:
右旋的条件:
if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
void RotateR(Node* parent)
{
//subL 是 parent 节点的左子节点,subLR 是 subL 的右子节点。
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
//将 parent 的左子节点指向 subLR。如果 subLR 存在,更新 subLR 的父节点为 parent
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
//将 subL 的右子节点设置为 parent,完成旋转的主要操作
subL->_right = parent;
//记录 parent 的父节点 ppNode,然后将 parent 的父节点更新为 subL
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
//如果 parent 是树的根节点,则将树的根节点更新为 subL,并将 subL 的父节点设为 nullptr
if (parent == _root)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
//如果 parent 不是根节点,则更新 ppNode 的子节点指针,指向 subL,并将 subL 的父节点设为 ppNode。
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
parent->_bf = subL->_bf = 0;
}
和右旋需要考虑的问题一致,只不过旋转的方式不一样。
左旋的条件:
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
subR->_left = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_right == parent)
{
ppNode->_right = subR;
}
else
{
ppNode->_left = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}
条件:
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == -1)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
条件:
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
}
else
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
}
封装一个计算树的高度函数:
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;
}
判断是否是平衡二叉树:只需要计算左右子树高度差是否小于等于1即可:
bool _IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return true;
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
//不平衡
if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2)
{
return false;
}
//检查平衡因子是否正确
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << endl;
return false;
}
return _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right);
}
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树,其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1,这样可以保证查询时高效的时间复杂度,即
。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作,性能非常低下,比如:插入时要维护其绝对平衡,旋转的次数比较多,更差的是在删除时,有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此:如果需要一种查询高效且有序的数据结构,而且数据的个数为静态的(即不会改变),可以考虑AVL树,但一个结构经常修改,就不太适合。