马尔科夫链的应用问题

一、问题：

请根据以下描述，计算缝纫机操作员工作中的可休息时间占比

1. 一个缝纫机操作员每30分钟缝制完成一件衣服；
2. 每30分钟，将有一个传货员到来；
3. 传货员会带走缝纫机操作员完成的衣服；并且会带来新需要缝制的衣服；
4. 其中30%的概率传货员没有带来需要缝制的衣服；50%的概率带来1件;20的概率带来2件。
5. 如果缝纫机员超过3件以上未完成衣服，传货员必须等待。

补充：

• 最后剩余未完成衣服（低于3件），将被留给下一个操作员

将上述缝纫机操作过程转换为马尔可夫链模型，需要定义系统的状态和可能的状态转换。

二、状态定义

定义状态S 为缝纫机操作员每30分钟结束时手上未完成的衣服件数。

状态的可能取值可以是0、1、2、3、4件（不会再多）。

三、转移概率

当 S<=3时：

1. 有30%的概率传货员不带来衣服，同时需要取走一件已完成的衣服，

所以状态转移到 S -1。

2.  有50%的概率传货员带来1件衣服，同时需要取走一件已完成的衣服，所以状态转移到 S（不变）。

3.  有20%的概率传货员带来2件衣服，同时需要取走一件已完成的衣服，所以状态转移到 S+1。

当 S>3 时：

1. 传货员必须等待，这意味着不会有新的需要缝制的衣服，同时肯定会拿走一件已完成的衣服。所以有100%的概率转移到3

2. 这也意味着最大状态4（最多4件未完成衣服）

四、状态和转换矩阵

假设状态集合为S {0, 1, 2, 3, 4}，状态转移矩阵如下图：

五、计算马尔可夫稳态分布

P 为状态转移矩阵

import numpy as np


# 定义状态转移矩阵 P
P = np.array([
    [0.3, 0.5, 0.2, 0.0, 0.0],
    [0.3, 0.5, 0.2, 0.0, 0.0],
    [0.0, 0.3, 0.5, 0.2, 0.0],
    [0.0, 0.0, 0.3, 0.5, 0.2],
    [0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0]
])


# 计算稳态分布
n = P.shape[0]
I = np.eye(n)
A = (P.T - I)[:-1]
b = np.zeros(n - 1)
A = np.vstack([A, np.ones(n)])  
b = np.append(b, 1) 


# 解线性方程以求稳态分布
stationary_distribution = np.linalg.solve(A, b)
print(stationary_distribution)

六、结果 ：

· 状态0（无未完成衣服）的概率为约 13.64%

· 状态1（1件未完成衣服）的概率为约 31.82%

· 状态2（2件未完成衣服）的概率为约 30.30%

· 状态3（3件未完成衣服）的概率为约 20.20%

· 状态4+（4件或更多未完成衣服）的概率为约 4.04%

所以，操作员有13.64%的时间可以休息