数据结构初阶必修：——时间复杂度和空间复杂度

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一算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般 是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

1.时间复杂度

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。 一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法 的时间复杂度 形象来说就是你的电脑跑该程序用的时间

废话不多说直接上代码

void Func1(int N)
 {
 int count = 0;
 for (int i = 0; i < N ; ++ i)
 {
    for (int j = 0; j < N ; ++ j)
    {
        ++count;
    }
 }
    
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
    ++count;
 }
 
int M = 10;
 while (M--)
 {
    ++count;
 }

这个段代码的运算可以用F(N)=N^2+2N+10 分情况讨论也就是

N = 10 F(N) = 130 N = 100 F(N) = 10210 N = 1000 F(N) = 1002010

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这 里我们使用大O的渐进表示法。

2.大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号 推导大O阶方法： 1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。 2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。 3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。 使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为： O(N^2)

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。 在大O的渐进表示法中我们一般只关注算法的最坏的情况。 例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x 最好情况：1次找到 最坏情况：N次找到 平均情况：N/2次找到 和生活实际差不多，只要考虑最坏的情况的，也就能知道这件事的完成时间。

实例2

void Func2(int N)
 {
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
    {
        ++count;
    }
 
    int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }
 
    printf("%d\n", count);
 }

为什么要去掉常数？ 因为在计算机中每秒会计算上亿次，其实你的常数项是不重要的。个人理解就是能用常数表示出来的数计算机一下子就算出来了。故不重要。

通过表达式得知F(N)=2N+10 用大O表示就是O(N).

3空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。 空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。 空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因 此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定

废话不多说直接上列子

实例1

void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
  {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
   {
 if (a[i-1] > a[i])
    {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
                 }
           }
 if (exchange == 0)
 break;
     }
 }

例如上面的数组就是就是提前申请的空间。额外的空间就是end和i。 使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

实列2

long long Fac(size_t N)
 {
 if(N == 0)
 return 1;
 return Fac(N-1)*N;
 }

那么我们如何算递归的空间复杂度？

不同于实列1，我们每每递归一次就要开辟一个栈帧 实例2递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

二.复杂度队比图

从低到高分别是

三.总结

1.时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。 2 大O的渐进表示法可以用来表示时间和空间复杂度。 3.我们写代码之前，可以用复杂度更优的来写，多进行比较 4.函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因 此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。