傅里叶反变换和拉普拉斯反变换中1/2π系数的由来

在信号系统里面有着俩大变换，都是往时域变的，在学习的过程中我想解决一个疑问，就是为什么里面出现了看起来格格不入的1/2π系数。

原因就在于一个信号其傅里叶变换是一个面积为2π，出现在ω=ω0处的单独冲激，至于积分号那是线性组合。

傅里叶变换将一个函数从时域变换到频域，而傅里叶反变换则正好相反，它将一个函数从频域变换回时域。

傅里叶变换： 把一个信号分解成不同频率的正弦波的叠加。

傅里叶反变换： 将这些正弦波重新组合起来，还原成原来的信号。

设 F(ω) 是函数 f(t) 的傅里叶变换，则 f(t) 可以通过傅里叶反变换求得：

f(t) = (1/2π) ∫[从-∞到+∞] F(ω) * e^(iωt) dω

1. f(t)：时域信号
2. F(ω)：频域信号
3. ω：角频率
4. i：虚数单位

观察公式发现是一个积分，是关于频率的。

接下来看拉普拉斯的：插一个推导，其实拉普拉斯就是在上面傅里叶的公式两边乘了衰减变量，直接就变换了。

当拉普拉斯变换的复变量s取纯虚数时，拉普拉斯变换就退化为傅里叶变换。为了保持一致性，拉普拉斯变换中也常常引入1/2π。

这个推导也确实是这样

如果 F(s) 是函数 f(t) 的拉普拉斯变换，那么 f(t) 求得：

f(t) = (1/2πj) ∫[从γ-j∞到γ+j∞] F(s) * e^(st) ds

1. f(t)：时域函数
2. F(s)：复频域函数
3. s：复变量
4. j：虚数单位
5. γ：实数，满足积分路径在F(s)的所有极点的右侧

在拉普拉斯里面的积分变量是一个复变量，也叫含参积分，好像还没有复习，一会儿学习。

第一种解释是能量谱密度：傅里叶变换将时域信号转化为频域信号，而频谱的平方与信号的能量密度成正比。为了确保能量在时域和频域上的等价，需要引入一个归一化因子。

但是我对这个结果不满意，太模糊了，我看了一些过程，觉得真理蕴含于公式之中。

1. 从傅里叶变换出发

假设已经得到了一个函数的傅里叶变换F(ω)，目标是通过F(ω)求出原来的函数f(t)。

2. 引入一个积分

我们考虑下面的积分：

(1/2π) ∫[从-∞到+∞] F(ω) * e^(iωt) dω

3. 将F(ω)替换为其定义

将F(ω)的定义代入上式，得到：

(1/2π) ∫[从-∞到+∞] (∫[从-∞到+∞] f(τ) * e^(-iωτ) dτ) * e^(iωt) dω

4. 交换积分顺序

由于积分的线性性和绝对可积性，我们可以交换两个积分的顺序：

(1/2π) ∫[从-∞到+∞] f(τ) * (∫[从-∞到+∞] e^(iω(t-τ)) dω) dτ

5. 计算内层积分

内层积分是一个典型的傅里叶变换，其结果是一个狄拉克δ函数：

∫[从-∞到+∞] e^(iω(t-τ)) dω = 2πδ(t-τ)

6. 代入并化简

将内层积分的结果代入上式，得到：

(1/2π) ∫[从-∞到+∞] f(τ) * 2πδ(t-τ) dτ

7. 利用δ函数的筛选性质

根据δ函数的筛选性质，上式可以化简为：

f(t) = (1/2π) ∫[从-∞到+∞] F(ω) * e^(iωt) dω

整个推导过2π就出现在了内层积分的计算中，这一步将傅里叶变换与狄拉克δ函数联系起来。

狄拉克δ函数是一个广义函数，它在t=0处取无穷大，而在其他地方取值为0，并且其积分等于1。这个特殊的性质使得它可以表示一个集中在一点的单位冲激。 广义函数不再广义-在信号与系统中的应用

在信号处理中，狄拉克δ函数可以用来表示一个理想的冲激信号，即在瞬间产生一个无限大的能量，然后迅速衰减为零。

来详细看一下内层积分：

∫[从-∞到+∞] e^(iω(t-τ)) dω

这个积分本质上是一个傅里叶变换。如果我们将e^(iω(t-τ))看作一个函数，那么这个积分就是求它的傅里叶变换。

根据傅里叶变换的对称性，我们可以得出：

傅里叶变换{e^(iωt)} = 2πδ(ω)

也就是说，e^(iωt)的傅里叶变换是一个在ω=0处有无限大值的狄拉克δ函数。

因此，将t替换为t-τ，我们得到：

∫[从-∞到+∞] e^(iω(t-τ)) dω = 2πδ(t-τ)

为什么会得到狄拉克δ函数？

频率域的集中性： e^(iω(t-τ))表示一个频率为ω的复指数信号。当t=τ时，这个信号的相位为0，幅值为1。也就是说，这个信号在频率域中只包含一个频率成分，即ω。

时域的无限窄脉冲： 为了在频域中只包含一个频率成分，对应的时域信号必须是一个无限窄的脉冲，即狄拉克δ函数。