信号与系统新讲05-滤波器到底如何对一个信号起作用

云深之无迹

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滤波器通过改变信号中不同频率成分的“强度”与“相位”，来保留有用信息、抑制或去除不需要的部分。

大体来说：滤波器 ≈ 频率选择器：

在信号里面有俩类：

1. 高频 = 快速变化（如毛刺、噪声）
2. 低频 = 缓慢变化（如轮廓、平均趋势）

我们可以互相组合出6种：

数学视角：信号 × 频率响应

一个信号  的傅里叶变换是 ，滤波器频率响应是 ，那么输出信号频谱是：

也就是说：

滤波器把输入信号在每一个频率上的强度乘以一个“权重函数” 。

这里出现新知识，频率响应 

什么是频率响应 ？

频率响应表示一个线性时不变（LTI）系统对不同频率输入的“反应强度和相位”。

定义（连续时间）：

即系统对单位复指数输入  的稳态输出：

频率响应的两部分

频率响应分解

以一般复函数  为例：

滤波器的两个图是使用的复函数绘制的

Bode图

Bode图

幅度响应（Magnitude Response）

表示系统对频率为  的输入正弦波 输出强度变成多少倍；

如果 ：该频率被放大；如果 ：该频率被削弱（衰减）；

通常画成 Bode 幅度图，单位常用 dB（分贝）：

单位：

相位响应（Phase Response）

该频率信号经过系统后，其相位被延迟或超前了多少角度；常常画成 角度 vs 频率图，单位为弧度或度（°）；和群延迟、系统因果性、相位失真密切相关；

例如低通滤波器常引起高频分量相位延迟更多（非线性相位）：

比如一阶 RC 低通滤波器

幅度响应：

相位响应：

高频越大 ⇒ 衰减越多，延迟越大，看最后的公式

与输入输出的关系（频域乘法）

对任意输入 ，其傅里叶变换为 ，则输出：

滤波器对频率做乘法处理 ⇒ 强的频率放大，弱的压制。

理想滤波器

假设一个理想低通滤波器：

其幅度谱是一个矩形，输出频谱 = 输入频谱在  以内保留，其余被滤掉。

一般说理想就是不需要的频率马上就截断，但是说现实不是，我们使用功率来表征，就是下降到原功率一半，3db的时候就认为是带宽了

时域视角：卷积作用

滤波器的单位脉冲响应为 ，输入信号为 ，则输出为：

滤波器“滑动”在信号上，对每一点进行加权平均或加权差分处理。

高频去除

高频去除

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import butter, filtfilt

fs = 1000  # 采样率
t = np.linspace(0, 1, fs, endpoint=False)
x = np.sin(2*np.pi*5*t) + 0.5*np.sin(2*np.pi*100*t)  # 5Hz信号 + 100Hz噪声

# 构建一个低通滤波器，截止频率 30Hz
b, a = butter(N=4, Wn=30, fs=fs, btype='low')
y = filtfilt(b, a, x)

plt.plot(t, x, label='原始信号')
plt.plot(t, y, label='滤波后信号', linewidth=2)
plt.title("低通滤波器作用：去除高频噪声")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()