NSD 或 PSD 是噪声的频域表示

SAR ADC 对带内噪声频谱的处理特性.理论&仿真

“噪声频谱密度（Noise Spectral Density, 简写 NSD 或 PSD）是噪声的频域表示。”

在时域中，我们看到的噪声是这样的：电压/电流随机抖动，看似无规律。

这样的

这样的

但时域噪声只是“结果”，要分析噪声的组成、带宽、功率分布， 我们必须把它转换到频域 —看它的不同频率分量各占多少能量。

噪声功率谱密度（PSD）

功率谱密度（Power Spectral Density, PSD）描述的是：

单位带宽内噪声的功率（或方差）分布。

记作 ，单位是：

或

如果噪声是电压噪声， 常用的均方根（RMS）形式单位是：

从时域到频域的关系

假设时域噪声信号为 ，它的自相关函数为 。 则根据维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem）：

即：

噪声的功率谱密度 = 自相关函数的傅里叶变换。

也就是说：时域相关 → 频域能量分布；时域无关 → 频域平坦（白噪声）。

维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem）

它是连接“时域随机性”和“频域能量分布”的桥梁，解释了为什么“功率谱密度（PSD）就是自相关函数的傅里叶变换”；“一个信号在频域的功率分布（PSD）就等于它在时域的自相关函数的傅里叶变换。”

随机信号与功率谱密度

设随机信号 平稳（统计特性不随时间变），它的功率谱密度 定义为：

其中：

是 在区间 内的傅里叶变换； 表示对所有随机实现的期望（平均）。

自相关函数的定义

自相关函数 描述信号在时间上“自相似”的程度：

意思是信号与自己延迟 后的平均相乘值；如果信号变化剧烈，相关性衰减快；若平稳光滑，相关性衰减慢。

维纳–辛钦定理的数学形式

以及其逆变换：

意思就是：时域的“相关性” ↔ 频域的“能量分布”

直观工程认识

信号平稳性强（相关时间长） ↔ 频谱窄

信号变化快（相关时间短） ↔ 频谱宽

白噪声： → （频谱平坦）

正弦波： → 在 ±f₀ 处两条谱线。

白噪声：平坦频谱

指数相关噪声：

ττ

频域为洛伦兹形谱：相关时间越长，谱越窄。

        ┌───────────────┐
        │ 时域随机信号 x(t) │
        └───────────────┘
                  │
                  ▼
        ┌─────────────────────┐
        │ 自相关函数 R_x(τ) = E[x(t)x(t+τ)] │
        └─────────────────────┘
                  │ 傅里叶变换
                  ▼
        ┌───────────────────┐
        │ 功率谱密度 S_x(f) │
        └───────────────────┘

总功率： 这一条非常重要，它说明：频谱的面积 = 信号的总功率（均方值）

小结

维纳–辛钦定理 建立了“信号自相关函数”和“功率谱密度”之间的傅里叶变换关系：在时域上描述信号自己与自己的相似性（相关性）；频域描述信号能量如何分布在各频率上；两者互为一对傅里叶变换。

相关函数 vs 功率谱（白噪声、指数衰减噪声）

相关函数 vs 功率谱（白噪声、指数衰减噪声）

左列：时域自相关函数

相关函数越“窄”（瞬时相关） → 频谱越宽（白噪声）

白噪声（上） → 只有在 τ=0 处存在冲击（δ函数），表示样本之间完全不相关。

指数相关噪声（下） → 随 τ 增加呈指数衰减，表示相邻样本之间仍有一定关联。

右列：频域功率谱密度

相关函数越“宽”（慢衰减） → 频谱越窄（低频主导）

白噪声 → 频谱平坦，各频率能量均匀分布。

指数相关噪声 → 频谱呈洛伦兹形，低频处能量高，高频迅速衰减。

从频谱密度得到总噪声

噪声在一个频带 内的总功率（均方值）：

或者等效形式：

这公式非常重要！

它说明：

积分（面积）= 总噪声功率；PSD（高度）= 单位频宽内的能量。

热噪声（Johnson Noise）

热噪声的功率谱密度是常数：

：玻尔兹曼常数 J/K

：绝对温度 (K)

：电阻 (Ω)

总噪声电压（RMS）：

这说明白噪声在频域是平的，所以我们常说“白噪声频谱是平坦的”。

时域随机噪声 vs 频域平坦分布：“频谱密度” 就是这条水平线的高度（单位带宽内功率）

时域：        n(t)
        |¯\_¯¯\/¯\_/¯¯\_/¯\_¯|
          随机波动

频域：        S_n(f)
        |——————— 平坦 ———————|
             (白噪声)

噪声频谱密度 vs 总噪声

噪声频谱密度是把“时域随机噪声”转换到频域的能量分布方式：它告诉你每个频率段的噪声强度；而噪声功率谱密度 = 频域能量密度，其积分面积 = 总噪声功率（或方差）。

对比

对比

两种噪声的时域波形和频域功率谱密度（PSD）对比：

上图：时域波形

蓝线（白噪声） → 快速、高频抖动，波动密集；

橙线（1/f 噪声） → 变化更缓慢，低频分量更明显，波形更“平滑”。

下图：频域功率谱密度（log–log）

白噪声 PSD → 频谱平坦，说明各个频率的能量相同。

1/f 噪声 PSD → 随频率下降而上升，低频成分更强（斜率 ≈ –10 dB/decade）。