问Monoid vs MonadPlus

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semigroup是配备有关联二元运算的结构。monoid是具有用于二元运算的单位元素的半群。

单子和半群

每个monad都必须遵守the monad laws。对于我们的例子，重要的是结合性定律。使用>>=表示

(m >>= f) >>= g     ≡   m >>= (\x -> f x >>= g)

现在，让我们应用这个定律来推导>> :: m a -> m b -> m b的结合性

(m >> n) >> p       ≡ (m >>= \_ -> n) >>= \_ -> p
                    ≡ m >>= (\x -> (\_ -> n) x >>= \_ -> p)
                    ≡ m >>= (\x -> n >>= \_ -> p)
                    ≡ m >>= (\x -> n >> p)
                    ≡ m >> (n >> p)

(我们选择了x，这样它就不会出现在m、n或p中)。

如果我们对类型代码进行专门化(用b代替a)，我们可以看到在<>e226m a -> m a -> m a > m a**.**上，任何类型的a形成了一个半群。由于对任何<代码>D30都是如此，我们得到了一个由<代码>D31索引的半群类。然而，它们通常不是么半群-我们没有>>的身份元素。

MonadPlus和么半群

MonadPlus又添加了两个操作：mplus和mzero。MonadPlus laws明确声明，对于任意a，mplus和mzero必须在m a上形成一个么半群。再一次，我们得到一类由a索引的么半群。

请注意MonadPlus和Monoid之间的区别：Monoid说，对于所有可能的a类型，m a类型都满足偏置规则。这是一个更强的条件。

因此，一个MonadPlus实例形成了两种不同的代数结构:一类是具有>>的半群，另一类是具有mplus和mzero的么半群。(这并不少见，例如，大于零的自然数集与+形成半群，与×和1形成么半群。)

如果我们有MonadPlus m成立，那么你会说m是一个函数，但是m a (将a应用于类型“Monad”m得到的类型)是么半群。

如果我们定义(类似于Data.Monoid的定义，但我们将在后面使用它)

class                Semigroup a where  (<>) :: a -> a -> a
class Semigroup a => Monoid    a where  zero :: a

然后它就有了

mzero :: MonadPlus m => m a
mplus :: MonadPlus m => m a -> m a -> m a

具有相当可比的类型和适当的法则

-- left and right identity
mplus a     mzero   ==   a
mplus mzero a       ==   a

-- associativity
(a `mplus` b) `mplus` c   ==   a `mplus` (b `mplus` c)

如果我们使用-XFlexibleInstances，我们甚至可以定义一个Haskell Monoid

{-# LANGUAGE FlexibleInstances #-}
instance MonadPlus m => Semigroup (m a) where  (<>) = mplus
instance MonadPlus m => Monoid    (m a) where  zero = mzero

尽管它们与Data.Monoid中的实例严重重叠，这可能是它不是标准实例的原因。

像这样的么半群的另一个例子是Control.Applicative的Alternative m => m a。

我必须强调一个非常重要的区别:不像Monoid，也不像其他答案所说的那样，MonadPlus 提供了一个具有关联的二元操作和标识的类型。哈斯克尔报告是唯一可以声明标准状态的文件，它没有指定MonadPlus的定律，因此不要求mplus是结合性的，或者mzero是它的左或右单位。也许作者仍然在争论这些定律: mplus有很好的理由不能联想。例如，如果mplus是结合型但非交换型的，则MonadPlus表示的非确定性搜索计算无法完成(也就是说，存在我们找不到的解)。由于mplus很少是可交换的，如果我们坚持结合性，任何完整的非确定性搜索过程都不能用MonadPlus表示。关于SC：Must mplus always be associative上的MonadPlus法律问题已经有了详细的讨论