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求θ的公式 在视频教程中，吴恩达老师给了我们一个如下图红色方框内的求参数 θ 的公式 ? 先对图中的公式简单的说明一下。...公式中的 θ 是 n+1 元列向量，y 是m元列向量，X 是一个 m 行 n+1 列的矩阵。...具体到上图中的例子，X 和 y在上图已经有了，它们都是已知的值，而未知的 可以通过图中的公式以及X和y的值求出来，最终得到假设函数(hypothesis function)为 假设函数和代价函数 多元线性回归的假设函数和代价函数如下...我们把 h 函数的矩阵形式代入并改写代价函数的求和部分，得到： 先来看一下 为什么等于 与 这两个向量的点积。...根据矩阵的乘法规则得 然后根据矩阵的减法规则有 很明显 所以 于是得证 对代价函数J求导 为什么我们要对代价函数求导呢？
大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。 刚开始学习机器学习的时候就接触了均方误差（MSE，Mean Squared Error），当时就有疑惑，这个式子是怎么推导的，但是因为懒没有深究。...今天看到了唐宇迪老师的机器学习课程，终于理解他是怎么推导的了。一定要一步一步看下去，别看他公式这么多，随便认真看一下就能理解的！ 问题描述 我们有工资和年龄两个特征，要预测银行会贷款给我们多少钱？...似然函数 似然函数用于参数估计，即求出什么样的参数跟我们给出的数据组合后能更好的预测真实值，有： （6） 取（6）式对数，将连乘转化为加法，这也是一般似然函数的求解方法： （7） 将（7...）式展开并化简有： （8） （8）式等式右侧的第一项为一个常量，似然函数要取最大值，因而第二项越小越好，有： （9） （9）式相当于最小二乘法的式子，即是均方误差的表达式。...下一步我们要解出 θ θ θ的表达式 4.
引言 多元线性回归是统计学和机器学习中广泛应用的一种回归分析方法。它通过分析多个自变量与因变量之间的关系，帮助我们理解和预测数据的行为。...本文将深入探讨多元线性回归的理论背景、数学原理、模型构建、技术细节及其实际应用。 一、多元线性回归的背景与发展 1.1 回归分析的定义 回归分析是一种统计技术，用于建模和分析变量之间的关系。...1.2 多元线性回归的发展 多元线性回归的研究历史悠久，可以追溯到20世纪初。随着统计学和计算机科学的发展，特别是计算能力的提升，基于最小二乘法的多元线性回归逐渐成为主流方法。...近年来，随着机器学习的兴起，多元线性回归被广泛应用于各种数据分析任务，并与其他机器学习模型相结合，成为数据科学中的重要工具。...下表展示了多元线性回归的发展历程： 年代 技术 代表模型 20世纪初 经典统计学 多元线性回归模型 20世纪中叶 计算机科学兴起 多元回归分析 21世纪 机器学习方法 结合正则化的多元回归 二、多元线性回归的核心理论
我们将看到多个输入变量如何共同影响输出变量，同时还将了解计算与简单LR模型的不同之处。我们还将使用Python构建一个回归模型。 最后，我们将深入学习线性回归，学习共线性、假设检验、特征选择等内容。...现在有人可能会想，我们也可以用简单的线性回归来分别研究我们对所有自变量的输出。 为什么需要线性回归 从多个输入变量预测结果。但是，真的是这样吗? 考虑到这一点，假设你要估算你想买的房子的价格。...到目前为止我们学的是线性回归的基础。然而，在处理实际问题时，我们通常会超越这一点，统计分析我们的模型，并在需要时进行必要的更改。...逆向选择:我们从模型中的所有变量开始，然后删除统计意义最小的变量(更大的p值:检查上面的模型摘要，找到变量的p值)。重复此操作，直到达到停止规则为止。...在3D图形中绘制变量TV、radio和sales，我们可以可视化我们的模型如何将回归平面与数据匹配。 ? 希望看完这篇文章后你会对多元线性回归有一个新的理解。
引言 线性回归（Linear Regression）是一种常见的统计方法和机器学习算法，用于根据一个或多个特征变量（自变量）来预测目标变量（因变量）的值。...到此，我们完成了数据预处理的基本步骤，数据集已经准备好用于模型训练。 5. 构建和训练线性回归模型 在预处理完数据后，我们可以开始构建和训练线性回归模型。...5.2 创建线性回归模型 使用Scikit-Learn库中的LinearRegression类来创建线性回归模型。...结果可视化：通过散点图和残差图直观展示模型的预测效果和误差分布。 通过遵循这些注意事项，你可以确保在Pycharm中顺利构建和应用线性回归模型进行房价预测。...通过这个案例，希望你能更好地理解线性回归的基本原理和实操步骤，并能够应用到其他类似的预测问题中。 线性回归是机器学习中的基础算法之一，尽管它简单，但在很多实际应用中依然非常有效。
因此，私募云通将在接下来一段时间内，推出《用Python玩转统计模型》系列，用最通俗易懂的语言带你走进统计模型的世界。 赶快转发，让更多小伙伴知道这个消息吧！ 什么是OLS回归？...OLS模型能反映出最真实的关系吗？ 答案是否定的。 但是由于它的计算成本低，并且相比复杂模型更容易解释，因此OLS回归被广泛地接受。...OLS实证 1）从MYSQL读取数据 2）调取样本基金的复权累计净值数据 3）数据处理和计算 4）建立OLS回归模型 OLS回归结果分析 OLS的回归结果如下： 其中x1和x2分别代表沪深300和中证...上图中P值显示，中证500收益率的系数显著；但沪深300收益率的系数并不显著，没有通过5%的显著性检验。 总结 OLS回归在计算成本等方面占有一定优势，但有时不太具有说服力。...所以，在本文中我们首先进行简单的ols回归。在后续报告中，私募云通小伙伴继续带您用python玩转各种统计模型，敬请期待。
说的直白一点，当我们确定了一组数的模型之后，然后想通过最小二乘的办法来确定模型的参数。举个两变量（一个自变量、一个因变量）线性回归的例子来说明一下，如下面所示一堆散点图。 ?...公式1 注意，这个模型公式中k和b是我们想要求的，k和b的取值不同，会画出不同的直线来，如下图： ? 同一个模型，不同参数得到不同结果 在这一堆可能的直线里面，我们要想一个办法选一个最好的出来。...如果我们用多元的线性模型去分析多个变量（1个因变量，p-1个自变量）的情况，同样有n组观测点。我们看其中第i个点，它满足下面的公式。...公式最后的ei是因为我们使用线性模型没法精准的描述实际的训练的点，就只好用个随机变量把差值表示出来。 ?...参考资料 王松桂，《线性统计模型——线性回归与方差分析》，高等教育出版社
PyMC3采用马尔可夫链蒙特卡罗(MCMC)方法计算后验分布。这个方法相当复杂，原理方面我们这里不做详细描述，这里只说明一些简单的概念，为什么使用MCMC呢？...在这篇文章中，我们将介绍如何使用PyMC3包实现贝叶斯线性回归，并快速介绍它与普通线性回归的区别。 贝叶斯vs频率回归 频率主义和贝叶斯回归方法之间的关键区别在于他们如何处理参数。...在频率统计中，线性回归模型的参数是固定的，而在贝叶斯统计中，它们是随机变量。 频率主义者使用极大似然估计(MLE)的方法来推导线性回归模型的值。MLE的结果是每个参数的一个固定值。...这里有很多值，这是贝叶斯线性回归的主要核心之一。HDI代表高密度区间(High Density Interval)，它描述了我们在参数估计中的确定性。 这个模拟只使用了数据中的100个样本。...总结 在本文中，我们介绍贝叶斯统计的主要原理，并解释了它与频率统计相比如何采用不同的方法进行线性回归。然后，我们学习了如何使用PyMC3包执行贝叶斯回归的基本示例。
对于回归模型Y= Xβ + ε，利用OLS估计的参数为βˆ = (X′X)−1X′Y，其前提条件是X′X是一个非退化矩阵，即要求rank(X′X) = rank(X) = k 的估计值βˆ，这也是我们在多元线性回归模型的经典假设之一。...关于模型中解释变量之间的关系主要有三种： （1） 解释变量间毫无线性关系，变量间相互正交。这时多元回归的系数和每个参数通过Y对Xi的一元回归估计结果一致。...（2） 解释变量间完全共线性，即rank(X) 模型参数将无法估计。 （3） 解释变量间存在一定程度的线性关系。实际中碰到的主要是这种情形。...这是为什么？难道该模型真的只有消费变量对财政收入有影响？这明显不符合实际情况。实际上该模型存在着多重共线性，才导致这个奇怪的结果。
本文将详细探讨线性回归模型的原理、应用实例、优缺点以及未来发展趋势。 二、线性回归模型的基本原理 线性回归模型是一种通过拟合自变量（特征）和因变量（目标变量）之间的线性关系来进行预测和解释的统计方法。...四、线性回归模型的优缺点 优点： 原理简单易懂：线性回归模型基于线性关系进行预测和解释，原理简单易懂，易于理解和实现。 计算效率高：线性回归模型的求解过程相对简单，计算效率高，可以快速得到预测结果。...五、未来发展趋势 随着大数据时代的到来和计算能力的提升，线性回归模型将继续发挥重要作用。同时，随着机器学习和人工智能技术的不断发展，线性回归模型也将不断得到改进和优化。...引入正则化项：正则化项可以帮助防止过拟合现象的发生，提高模型的泛化能力。在未来的发展中，我们可以尝试引入更多的正则化项和技术来改进线性回归模型。...集成学习方法的应用：集成学习方法可以通过组合多个模型的预测结果来提高整体预测精度。在未来的发展中，我们可以将集成学习方法应用于线性回归模型，进一步提高其预测性能。
从上面两张图可以看出，残差与拟合值、解释变量 lnq 之间呈现线性关系，由此猜测存在异方差。 2.2 BP 检验 假设回归模型： 记 ） 。...---- 【问题】为什么 LM 统计量是 呢? 在大样本中， 与检验整个方程显著性的 F 统计量渐近等价。...做 回归，记下此回归的 。 计算 F 统计量或者 LM 统计量并计算 p 值。（前者使用 分布，后者使用 分布）。...考虑线性回归模型： 假定 ，且 {vi}{i=1}^n 已知。 两边同乘权重 可得： 新扰动项 不再有异方差，因为： 对乘以权数后的方程进行 OLS 回归，即为 WLS 。...statistics(估计后统计量)，即在完成估计后所计算的后续统计量。
“宝刀不老”的线性回归 时至今日，深度学习早已成为数据科学的新宠。即便往前推10年，SVM、boosting等算法也能在准确率上完爆线性回归。 为什么我们还需要线性回归呢？...这里给出函数的详细描述。对于简单的线性回归来说，可以选择1维函数。但是如果你想拟合更高维的模型，则可以从线性特征数据中构建多项式特征并拟合模型。...方法五：Statsmodels.OLS ( ) Statsmodels是一个小型的Python包，它为许多不同的统计模型估计提供了类和函数，还提供了用于统计测试和统计数据探索的类和函数。...可根据现有的统计包进行测试，从而确保统计结果的正确性。 对于线性回归，可以使用该包中的OLS或一般最小二乘函数来获得估计过程中的完整的统计信息。...一个需要牢记的小技巧是，必须手动给数据x添加一个常数来计算截距，否则默认情况下只会得到系数。以下是OLS模型的完整汇总结果的截图。结果中与R或Julia等统计语言一样具有丰富的内容。
SER Standard error of regression 是回归线中residual的标准差，SER越小，说明回归拟合的越好 21.10 说明OLS回归的结果 假设确定的条件存在， 一个总体未知的...有病被诊断无病，假阴性，Type II error 24 多变量线形回归假设检验 24.1 构建，应用和解释在多元线性回归中单个系数的假设检验和置信区间 多元假设线性回归检验某个系数的统计显著性流程 设定要检验的假设...解释P-value 是可以拒绝H0的最小显著水平 24.2 构建，应用和解释在多元线性回归中多个系数的假设检验 多元假设线性回归检验多个系数的统计显著性流程 设定要检验的假设 ?...计算F统计，总是one-tailed ? 3. 根据指定的显著性水平，以及k和n-k-1查表求 4....不忽略一些X得到一个包含X1回归模型，计算X1的unrestricted 3. 用F-test来检验两个模型是否同方差
如果你读到这里发现自己还不知道什么是OLS（普通最小二乘）回归，建议去补习一下统计学知识了，否则作为未来的统计学家却不知道基础的统计学知识，也太不像话了，被说认识我科研猫~~ ?...表2: 对拟合线性模型非常有用的其他函数 ? 2、回归模型中的变量 当回归模型包含一个因变量和一个自变量时，我们称为简单线性回归。...3、模型的评估 讨论完以上内容中，我们使用lm()函数来拟合OLS回归模型，通过summary()函数获取模型参数和相关统计量。...但是，没有任何输出告诉我们模型是否合适，对模型参数推断的信心依赖于它在多大程度上满足OLS模型统计假设（这将决定回归分析得出的模型应用到真实世界中时的预测效果）。...4、异常值的处理 前面的回归分析中出现了一些不符合模型的点，当时的建议是删除这些“不听话“的点，但这并不是一个严谨的办法。一个全面的回归分析要覆盖对异常值的分析，包括离群点、高杠杆值点和强影响点。
在这篇文章中,我将解释为什么当建立一个线性模型,我们添加一个x₁₂术语如果我们认为变量x₁和x₂互动和添加交互条款订立原则方法。 我假设读者对线性模型的工作原理有一个基本的了解。 ?...图1:没有相互作用项的线性模型 一个变斜率的模型 假设我们认为x₁实际上取决于x₂的斜率。我们如何将这种信念融入到模型中?...图3:拟合线性模型假定的影响x₁的值取决于x₂ 图3中的模型如图1是一模一样,除了它有一个额外的术语,bx x₁₂。...这种方式建立一个线性模型的相互作用项是自然结果表明假设x₁y是线性的影响依赖于x₂的当前值。 x₁ 依赖于 x₂与 x₂ 依赖于 x₁是一样的 前一节中建立在假设x₁的效果取决于x₂的当前值。...图5:拟合线性模型假设x₂的影响取决于x₁的值 请注意，上图中的模型与图4中的模型相同(它们仅在分配给系数的名称上有所不同)。
作者 | Rihad Variawa 来源 | Medium 编辑 | 代码医生团队 需求最大的受监督机器学习算法之一是线性回归。线性回归扎根于统计领域，因此必须检查模型的拟合优度。...线性回归假设的简要概述 对于多元线性回归，从统计推断角度来看，判断多重共线性（相关变量）也很关键。该假设假设预测变量之间的线性相关性很小或没有。...使用Pandas，可以轻松地计算相关矩阵并将其传递到statsmodels的特殊绘图函数中，从而将相关关系可视化为热图。...使用statsmodel.ols（）函数进行 模型拟合主要模型拟合使用statsmodels.OLS方法完成。这是一个线性模型拟合实用程序，感觉非常类似于R中强大的“ lm”函数。...方差影响因子— VIF 此数据集的OLS模型摘要显示了多重共线性警告。但是，如何检查是什么原因引起的呢？ 可以计算每个独立变量的方差影响因子。
和之前的文章类似，本文只讲如何用代码实现，不做理论推导与过多的结果解释(事实上常用的模型可以很轻松的查到完美的推导与解析)。因此读者需要掌握一些基本的统计模型比如回归模型、时间序列等。...Statsmodels简介 在Python 中统计建模分析最常用的就是Statsmodels模块。Statsmodels是一个主要用来进行统计计算与统计建模的Python库。...主要有以下功能： 探索性分析：包含列联表、链式方程多重插补等探索性数据分析方法以及与统计模型结果的可视化图表，例如拟合图、箱线图、相关图、时间序列图等 回归模型：线性回归模型、非线性回归模型、广义线性模型.../statsmodels 线性回归模型：普通最小二乘估计 线性模型有普通最小二乘(OLS)广义最小二乘(GLS)、加权最小二乘(WLS)等，Statsmodels对线性模型有较好的支持，来看个最简单的例子...最后想多说一句，全文没有出现太多模型的理论知识，因为这些模型的推导过程随便百度一搜都能得到十分详细的优质回答，因此在学会如何用计算机实现之后必须要回过头去理解模型里每一个参数是怎样得到，又有哪些含义才算真正搞定
在机器学习中的线性回归，一般都会使用scikit-learn中的linear_model这个模块，用linear_model的好处是速度快、结果简单易懂，但它的使用是有条件的，就是使用者在明确该模型是线性模型的情况下才能用...如果不知道该模型是否是线性模型的情况下可以使用statsmodels，statsmodels是python中专门用于统计学分析的包，它能够帮我们在模型未知的情况下来检验模型的线性显著性。...P>|t| 统计检验中的P值，这个值越小越能拒绝原假设。 线性回归图像 Statsmodels的plot_regress_exog函数来帮助我们理解我们的模型。 根据一个回归因子绘制回归结果。...多元线性回归模型公式 βββε 运用多元线性回归模型可以加入多个变量，看看哪些自变量的组合更优地满足OLS最小二乘假定。...因为这里我们使用的数据基本是线性的，在其他场景中，需要根据实际情况确定多项式回归的最高次幂，可以绘制学习曲线，根据模型在训练集及测试集上的得分来确定最终结果。
其中多元共线性这个问题将贯穿所有的机器学习模型，所以本文会「将原理知识穿插于代码段中」，争取以不一样的视角来叙述和讲解「如何更好的构建和优化多元线性回归模型」。...[] 也不能少 print('='*35) 虚拟变量的设置 因为类别变量无法直接放入模型，这里需要转换一下，而多元线性回归模型中类别变量的转换最常用的方法之一便是将其转化成虚拟变量。...从上表中，不难发现： 该名义变量有 n 类，就能拆分出 n 个虚拟变量 巧妙的使用 0 和 1 来达到「用虚拟变量列代替原名义变量所在类别」 接下来要做的就是将生成的虚拟变量们放入多元线性回归模型，但要注意的是...在解释模型中虚拟变量的系数之前，我们先消除模型中多元共线性的影响，因为在排除共线性后，模型中的各个自变量的系数又会改变，最终的多元线性回归模型的等式又会不一样。...其实根据原理部分的表格来看，如果房屋在 C 区，那等式中 A 和 B 这两个字母的值便是 0，所以这便引出了非常重要的一点：使用了虚拟变量的多元线性回归模型结果中，存在于模型内的虚拟变量都是跟被删除掉的那个虚拟变量进行比较
之前看sklearn线性模型没有R方，F检验，回归系数T检验等指标，于是看到了statsmodels这个库，看着该库输出的结果真是够怀念的。。...：状态空间模型——State space models 2.10 多元统计模型——因子/主成分分析 3 相关模型demo 3.1 线性回归模型 3.2 广义线性模型——GLM 3.3 稳健回归 4 其他...如果将消费者选择福特汽车记为Y=1，选择本田汽车记为Y=2，选择大众汽车记为Y=3；那么在研究消费者选择何种汽车品牌的时候，由于因变量不是一个连续的变量（Y=1, 2, 3），传统的线性回归模型就有一定的局限...2.3 非参数统计 ? 2.4 广义线性模型 - Generalized Linear Models ? 2.5 稳健回归——Robust Regression ? 2.6 广义估计方程 ?...---- 3 相关模型demo 3.1 线性回归模型 可参考：https://www.statsmodels.org/stable/examples/notebooks/generated/ols.html
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