在求解线性方程组的过程中把线性方程组的系数按之前行列式的规则排列的数表称为矩阵。 ? ? 称为3x3的矩阵。...PS:矩阵和行列式是两个完全不同的概念，矩阵只是一个数表而行列式是数表按一定运算法则确定的数，行列式的行数与列数必须相等，矩阵的行数与列数可以不等。...（2）数与矩阵的乘法：数λ乘矩阵A就是矩阵A中每一个元素都乘以数λ ? 注意：这与行列式的乘法运算是不一样的。...（这个在矩阵运算中很重要，会经常用到） ? 在实际问题中更多遇到的是： ? 已知Anm不存在逆矩阵：那么那么是否存在Cnm，如果存在应该怎么求 ? 这就需要引入广义逆矩阵的概念。...%根据伴随矩阵的定义求，注意求A的伴随矩阵和代数余子式的排列顺序不同。
其中剪切的几何意义是保持高和底不变的平行四边形无论怎么倾斜其面积都如下图是不变的 ? 在阅读不同地区的中文文章时，要注意行列可能会出现下面的别名 ?...5.2 矩阵 矩阵的数乘是把数逐项乘到矩阵的元素上，矩阵的加减是矩阵间的主元素加减，矩阵相乘是行列对应项相乘再相加，具体效果如下图，矩阵相乘是矩阵最常见的运算，要牢记矩阵乘法没有交换率，也就是左乘右乘结果通常不同...同维度的向量有外乘和内乘之分，例如现在有两个n*1的向量a和b，那么aT·b得一个1*1的数，a·bT得一个n*n的矩阵，这用矩阵的乘法大小计算即可记忆 对角矩阵的特点是所有非零元素都在对角线上，对称矩阵的特点是矩阵的转置与原矩阵相同...前面在4.4的时候说到过求解线性方程组的一大程序化做法就是使用克莱姆法则，通过两个行列式的比值我们可以求解出线性方程组中对应变量的值，同样我们需要注意先检查矩阵是否奇异，行列式为0的时候也就是方程组线性相关的时候将会有无穷多组解...特征向量和特征值在计算中常常用来简化会重复多次的矩阵变换，让复杂的矩阵乘法可以用简单的特征值连乘来解决 ?
思路一——行列式展开 首先再次介绍下余子式和代数余子式： 余子式：在 n 阶行列式中，把某个元素所在的行列都去掉之后，剩下的 n-1 阶行列式就叫做该元素的余子式： 代数余子式： 余子式再乘以-...1的i+j次方（ij为行列式的行和列） **我们可以看到行列式展开得到的代数余子式又是一个行列式，这是一个逐步求精的过程。...显然可以用递归的方法。 基本算法： 行列式按第一行展开： 循环求各个元素与其对应代数余子式乘积的和。...= m) { cout<<" 您输入的矩阵不是方阵！求么子行列式！"...实现线代其它操作的参考链接 线性代数行列式求值/矩阵相乘/求矩阵的逆，一个c++程序全部解决 线性代数矩阵乘法用C++代码实现 让c++程序助你轻松求矩阵的逆 发布者：全栈程序员栈长，转载请注明出处：https
从不同学生的视角看，有以下三种观点： 物理专业学生的视角：向量是空间中的箭头，决定一个向量的是它的长度和所指的方向，只要这两个要素相同， 向量可以任意移动。...当然，基向量可以任意选择，定义两个向量v和w，以其为基向量，通过加法和乘法，可以得到平面中任意的向量： ? 基向量的严格定义为：向量空间中的基是张成该空间的一个线性无关的向量集： ?...但是你不觉得上面两个过程是完全不同的嘛？接下来就直观解释一下。 假设我们有两个长度完全相同的向量v和w，利用其对称性，无论将v投影到w上还是将w投影到v上，结果都是一样的： ?...接下来看看叉积的具体计算，求行列式得到的是叉积后向量的长度，叉积得到的向量的坐标是下图中的三个“某些数”。 ? 接下来，深入理解叉积的含义，我们通过线性变换的眼光来看叉积。...同一个向量，使用不同的坐标系，得到的坐标是完全不同的，那么如何在不同的坐标系中进行坐标转换呢？在詹妮佛的坐标系中，她的b1和b2是[1,0]和[0,1]: ?
从数学表现形式上来看向量就是一个数字列表，列表中的每个数表示在不同维度上的有向位移，还是以向量 BA 为例： ?...对于任意向量，模的大小等于其每个维度数值的平方和然后开根号；这也就是 ThreeJS 框架中各向量类型计算长度的 length 函数的实现，以二维向量 Vector2 为例（其中 x 和 y 表示二维向量在...向量可以用来描述事物间的位移，数字列表中的每一项表示在不同维度上的有向位移，而向量相加则是对这种位移的累加，比如： ?...行列式 矩阵的行列式也是就是矩阵的“大小”，不过并不是所有矩阵都有大小，只有行数和列数相同的方阵才有大小；向量的大小表示向量的长度，方阵的大小则表示坐标系中基向量（坐标轴单位向量）经过该方阵变换后的新向量组成的平行四边形的有符号面积...求任意高维度方阵的行列式最终都可以递归转化为求二阶方阵行列式问题。 转置矩阵 假设存在两个矩阵 M 和 T： ?
物理专业视角：向量是空间中的箭头，决定一个向量的是它的长度和方向 计算机专业视角：向量是有序的数字列表 数学专业视角：向量可以是任何东西，只要保证两个向量相加以及数字与向量相乘是有意义的即可 运算规则...数量乘法 任意的常数 ? 和向量的乘法为： ? 在给定数 ? 及向量 ? 的情况下 ? ? 张成空间 张成空间是向量 ? 和 ? 全部线性组合构成的向量集合，即： ?...向量的点积 点乘，也叫向量的内积、数量积。顾名思义，求下来的结果是一个数。两个维度相同的向量，点积定义如下： ?...两个矩阵相加是指对应位置的元素相加，比如 ? ，其中 ? 。 乘法： 两个矩阵 ? 和 ? 的矩阵乘积是第三个矩阵 ? 。为了使乘法可被定义，矩阵A的列数必须和矩阵B的行数相等。...一般的，一个数组中的元素分布在若干维坐标的规则网络中，我们称之为张量。 一阶张量可以用向量表示，二阶张量可以用矩阵表示。
正交矩阵和Gram-Schmidt正交化 回顾 正交向量：两个向量点积为0。 正交空间：行空间与零空间。 正交基 ? 正交矩阵 ?...如何变成正交矩阵 总体思路就是先求出正交的向量，然后根据向量的长度变成正交矩阵。...求正交的向量，可以用 b=b−p=b−Ax=b−AATbATA b = b-p=b-Ax=b-A\frac{A^Tb}{A^TA} 行列式与其性质 行列式，是最能够代表矩阵性质的一个数，根据它可以判断矩阵是不是奇异矩阵等...detAT=detAdetA^T=detA,将行列联系在了一起 此外，有一个问题：7次和10次行交换会得到同样的矩阵么。 A: 置换分为odd和even的。...行列式公式和代数余子式 行列式，是线代里面很小的但是很完整的一部分，之前很重要，现在并不是很重要。它的主要目的是和特征值结合。 代数余子式的意义是可以将大的矩阵的特征值分解成小的矩阵的特征值。
但是你不觉得上面两个过程是完全不同的嘛？接下来就直观解释一下。...联想之前所学的线性变换过程，假设u是二维空间变换到一维空间后的基向量： 在第三讲中我们已经知道，一个2*2的矩阵，[[a,c],[b,d]]其实代表了一种线性变换，它把原来的[1,0]变换到[a,b]的位置...而根据矩阵乘法的计算方法，便可以将投影的计算方法和对位相乘再相加的方法联系起来。...，求行列式得到的是叉积后向量的长度，叉积得到的向量的坐标是下图中的三个“某些数”。...,y,z)求点积的结果，等于对应的三维方阵行列式的值（即(x,y,z)和向量u、v所组成的平行六面体的有向体积）。
2.矩阵乘法 两个矩阵相乘，其中 and ，则： 其中： 请注意，为了使矩阵乘积存在，中的列数必须等于中的行数。有很多方法可以查看矩阵乘法，我们将从检查一些特殊情况开始。...2.3 矩阵-矩阵乘法 有了这些知识，我们现在可以看看四种不同的（形式不同，但结果是相同的）矩阵-矩阵乘法：也就是本节开头所定义的的乘法。 首先，我们可以将矩阵 - 矩阵乘法视为一组向量-向量乘积。...我们可以使用矩阵乘法的定义直接验证这一点： 3 运算和属性 在本节中，我们介绍矩阵和向量的几种运算和属性。希望能够为您复习大量此类内容，这些笔记可以作为这些主题的参考。...这里，第一个和最后两个等式使用迹运算符和矩阵乘法的定义，重点在第四个等式，使用标量乘法的可交换性来反转每个乘积中的项的顺序，以及标量加法的可交换性和相关性，以便重新排列求和的顺序。...在更高的维度中，集合是一个称为维平行切的对象。 ? 图 1：（4）中给出的矩阵的行列式的图示。这里，和是对应于行的向量，并且集合对应于阴影区域（即，平行四边形）。
假如a=(a1,a2)和b=(b1,b2)为两个列向量，那么点乘与叉乘的区别如下所示： 点乘可以理解为降维运算，在R中的符号位%*%，也可以使用crossprod()函数；叉乘为升维运算，在R中可以使用...)分别返回行数和列数，row()和col()则返回矩阵每个元素的行数与列数坐标，如下所示： ⑶行列式的运算 由n阶方阵A的元素构成的行列式，称为方阵A的行列式，记作|A|或者detA，在R中函数det...因此，Ma=b实际上就是MEa=Eb，也即将E中的a转换到M中，就是E中的b，也即最终的结果都是要在E中描述出来。矩阵的乘法也即不同线性变换的叠加，或者使用一个坐标系去描述另一个坐标系。...在向量的矩阵变换中，不同的向量变换的方向、距离不一样，但是矩阵特征值λ对应的特征向量其变换方向不变，仅进行比例为λ的长度伸缩。...B具有不同的特征矩阵（正交化的坐标系），但是A和B在各自特征向量上的投影也即特征值相同，而这两个正交化的特征向量坐标系是可以通过简单旋转来转换的（因为P、Q均为正交矩阵，也即正交转换），我们称B为A的相似矩阵
四阶行列式的计算； N 阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等)； 矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算)； 求矩阵的秩、逆(两种方法)；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论...； 齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解)； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化...； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性...( 1 )它表示所有可能的取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和； ( 2 )展开式共有 n!...项，其中符号正负各半； 2 ．行列式的计算 一阶 |α|=α 行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶( n>=3 )行列式的计算：降阶法 定理： n 阶行列式的值等于它的任意一行 (列) 的各元素与其对应的代数余子式乘积的和
类似torch.tensor([1,2,3])这样的不是矩阵。 矩阵运算包括：矩阵乘法，矩阵转置，矩阵逆，矩阵求迹，矩阵范数，矩阵行列式，矩阵求特征值，矩阵分解等运算。...#矩阵求范数 a = torch.tensor([[1.0,2],[3,4]]) print(torch.norm(a)) tensor(5.4772) #矩阵行列式 a = torch.tensor...numpy是一样的: 1、如果张量的维度不同，将维度较小的张量进行扩展，直到两个张量的维度都一样。...2、如果两个张量在某个维度上的长度是相同的，或者其中一个张量在该维度上的长度为1，那么我们就说这两个张量在该维度上是相容的。 3、如果两个张量在所有维度上都是相容的，它们就能使用广播。...4、广播之后，每个维度的长度将取两个张量在该维度长度的较大值。 5、在任何一个维度上，如果一个张量的长度为1，另一个张量长度大于1，那么在该维度上，就好像是对第一个张量进行了复制。
一、行列式 ¶1.1 行列式概念 二阶行列式的出现：求解二元一次方程组（因此可以很容易理解同解变形） ¶1.2 行列式性质 同解变形（初等行变换）： 将两个方程组的位置互换 某方程乘一个非0的常数 讲一个方程的...二、矩阵 ¶2.1 概念、运算 矩阵是一个表格 运算：加减法、数乘、矩阵乘法、转置 单位矩阵E（对角线为1）相当于算术运算中的1 \alpha\alphaT为对称矩阵，\alphaT\alpha为平方和...三、向量（难点） ¶方程组的解 相关，无关，秩 怎么理解矩阵的秩 秩为1的矩阵的特征值：一个是它的迹，另外两个为0。...¶向量空间： 平面–三元一次方程 曲面–二次型 考过的题： 过渡矩阵、空间维数、基 r(A)=r(\bar{A})=2三个平面可能是哪一图形 给曲面图形，求正的特征值 给曲面方程，求参数 给二次型，说曲面名称...四、方程组（重点） 五、特征值（重点） 六、二次型（重点） 二次型和特征值的关系
（所谓可分指可以没有误差地分开；线性不可分指有部分样本用线性分类面划分时会产生分类误差的情况。） 判断是否线性可分：不同样本集用凸包包起来，判断不同凸包的边是否有交叉。...") img_data = np.array(img) print(img_data.shape)# （H,W,C） 1.5 范数 它常常被用来度量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量的长度或大小...([[1,2],[1,2]]) 行列式不等于0位非奇异矩阵 1.9 矩阵和张量的基本运算 加\减（对应位置相加\减） 数加\数减（一个数与矩阵加减） 点乘（对应位置相乘） 数乘（一个数与矩阵相乘） 叉乘...稀疏矩阵：在矩阵中，若数值为0的元素数目远远多于非0元素的数目，并且非0元素分布没有规律时，则称该矩阵为稀疏矩阵；与之相反，若非0元素数目占大多数时，则称该矩阵为稠密矩阵。...(a,eigenvectors=True))# 特征向量 2.7 相似变换 一个轴求的是在x向量上的投影，如果多个轴就是矩阵P，P就是特征向量的集合。
矩阵乘法 复合矩阵 ? 乘积需要从右往左计算 ?...我对矩阵乘法的理解： 首先把$M_1$的$[e,g]$看成一个向量，$[f,h]$看成一个向量 左乘$M_2$实际是两个向量分别与$M_2$相乘 $M_2$可以看做将基底进行变换的矩阵 根据线性变换的性质...再应用$b$ 和线应用$B$，再应用$A$，得到的结果是不同的 ?...几何：两个向量的点积为一个向量在另一个向量上正交投影的长度乘以另一个向量的长度(好绕。。) ? 若两向量反向，则乘积为负 ? 两者的关系： 这一部分听傻了，感觉都是神仙推导。太强了orz ?...叉积 定义 视频中并没有明确的给出叉积的定义 大概就是算出两个向量的行列式来构成第三个向量 正负 对于$i \times j$，若$i$在$j$右侧，则叉积为正，否则叉积为负 ? 计算 ?
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