将非方阵转换为带R的方阵的方法是通过在非方阵的右侧添加一列或一行,使其变为方阵,并且在新增的列或行中填充所需的元素R。
这种转换通常用于线性代数中的矩阵运算,例如求解线性方程组或进行矩阵变换等。
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··· 历史长河里,世世代代的教授和教科书撰写人,总是用荒谬复杂的矩阵计算,掩盖数学真实的简洁模样。 可怕的是,世界上没有什么学科,比线性代数更基础。...我们深知数学带给你的痛苦与无助,从即日起为大家送上这份《线性代数的本质》.avi,试图让你从跟数学战斗的1400万次战斗中,找到胜利的那一种结局。...8 非方阵矩阵在不同维度上的变换 Nonsquare matrices as transformations between dimensions ?
image.png 正交向量:内积为零 应用 向量组和特征向量 矩阵 定义:描述线性代数中线性关系的参数,即矩阵是一个线性变换, 可以将一些向量转换为另一些向量。...image.png 矩阵和向量 当m=1或者n=1的时候,称A为行向量或者列向量 方阵 负矩阵,上下三角矩阵 对角矩阵 单位矩阵 行列式变换会用到三角矩阵 区分单位向量 矩阵的转置 行列式...image.png 伴随矩阵 为了求矩阵的逆 ? image.png 方阵的逆 AB=BA=E,那么称B为A的逆矩阵,而A被称为可逆矩阵或非奇异矩阵。...image.png 线性方程组 定理 1: n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零 解的充要条件是 R(A) < n 推论 当 m < n 时,齐次线性方程组 一定有非零解 定理 2...image.png 特征值和特征向量 A为n阶矩阵,若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx,那么数λ称为A 的特征值,x称为A的对应于特征值λ的特征向量 特征值的性质 (1)n阶方阵A
无论数据采用何种格式,都需要将其转换为一组待分析的数字。因此,有效地存储和修改数字数组在数据科学中至关重要。...这些操作可分为4个主要类别: 创建数组 操作数组 数组合并 带数组的线性代数 首先就是需要引入numpy的包 import numpy as np 创建数组 1.特定范围内的随机整数 ?...转置 矩阵的转置就是变换行和列。 ? 11. Vsplit 将数组垂直分割为多个子数组。 ? 我们将一个4x3的数组分成两个形状为2x3的子数组。 我们可以在分割后访问特定的子数组。 ?...Inv 计算矩阵的逆。 ? 矩阵的逆矩阵是与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。不是每个矩阵都有逆矩阵。如果矩阵A有一个逆矩阵,则称为可逆或非奇异。 18. Eig 计算一个方阵的特征值和右特征向量。...我们已经讨论了NumPy的基本操作。在NumPy上有更高级的操作,但最好先理解基础操作。 感谢您的阅读。 作者 Soner Yıldırım deephub翻译组
(5) 矩阵的转置 对实数矩阵进行行列互换,对复数矩阵,共轭转置,特殊的,操作符.’共轭不转置(见点运算); (6) 点运算 在MATLAB中,有一种特殊的运算,因为其运算符是在有关算术运算符前面加点,...3、矩阵的转置与旋转 (1) 矩阵的转置 转置运算符是单撇号(’)。 (2) 矩阵的旋转 利用函数rot90(A,k)将矩阵A旋转90º的k倍,当k为1时可省略。...(2) 矩阵的伪逆 如果矩阵A不是一个方阵,或者A是一个非满秩的方阵时,矩阵A没有逆矩阵,但可以找到一个与A的转置矩阵A’同型的矩阵B,使得:ABA=A,BAB=B 此时称矩阵B为矩阵A的伪逆,也称为广义逆矩阵...二、有限域中的矩阵 信道编码中的矩阵运算一般都是基于有限域的,因此需要将普通矩阵转换为有限域中的矩阵,使其运算在有限域GF(m)中。...可以通过命令gf(data,m)将数据限制在有限域中,这样如矩阵求逆、相加、相乘等运算就均是基于有限域GF(m)的运算了。 那么如何将有限域元素转换为double型的呢?
非奇异矩阵:对应的行列式不等于0的方阵。即|A|≠0时。 数量矩阵:如果一个矩阵的对角线元素全部相同,其余元素都是0,这个矩阵叫数量矩阵,又叫纯量矩阵。 对角矩阵:简称对角阵(默认为正对角阵)。...正交矩阵: 先来看一下正交矩阵是如何定义的,若方阵M是正交的,则当且仅当M与他的转置矩阵M^T的乘积等于单位矩阵,那么就称矩阵M为正交矩阵....上面的方程式组可以转换为下面的方程式组. 在C≠D的情况下,那么对方程组求解,就是w = 0两条直线相交,那么就是(x,y,0).两条直线相交于无限远处....现在,向量[1,1,0]就被表示成p,q和r的线性变换了.向量p,q和r被称为基向量.这里的基向量是笛卡尔坐标系.但是事实上,一个坐标系能用任意的3个基向量表示.当然了,这三个向量不在同一个平面.向量p...,q和r创建一个3x3的矩阵M.如下所示.
版权申明:本文为博主窗户(Colin Cai)原创,欢迎转帖。...我们再去思考实数上的n阶矩阵环有没有非平凡理想: 实际上,假如该矩阵环中有一个理想,这个理想中存在一个秩为m(0<m<n)的方阵M,按照线性代数知识,存在X和Y两个满秩方阵,使得 XMY = ...有了这个方阵,则可以通过行变换、列变换变换到任何只有一个元素不为0的方阵, 再通过加法,可以得到所有的n阶方阵。 从而该理想其实包含该环中所有方阵。 ...其实实数域矩阵环是存在非平凡的左理想和右理想的: 比如第一行之外其他行全为0的方阵构成一个左理想,第一列之外其他行全为0的方阵构成一个右理想。 ...我们这样定义环R对于理想I的商环Q: 商环Q是R的一个分划; R里任何两个元x和y,在Q的同一个类里的充要条件是x-y∈I; 商环上定义的加法为:商环里的两个类A和B,A+B的结果是A上的一个元素
其对角线元素就是方阵中行号和列号相同的元素,对应上图中的 a11、a22、a33;其它元素为非对角线元素。如果方阵中所有非对角元素均为 0,那么这个方阵也被称为对角矩阵,如下: ? 单位矩阵 ?...余子式、代数余子式 假设矩阵 M 有 r 行 c 列,从中任意移除某一行和某一列后剩下的有 r-1 行 c-1 的矩阵被称为矩阵 M 的余子式,如下: ?...求任意高维度方阵的行列式最终都可以递归转化为求二阶方阵行列式问题。 转置矩阵 假设存在两个矩阵 M 和 T: ?...其中矩阵 T 的横行由矩阵 M 的纵行组成,而其纵行又是由矩阵 M 的横行组成,那么就称矩阵 T 为矩阵 M 的转置矩阵,记为: ? 当转置矩阵双方均为方阵时看起来就好像是沿着对角线翻折一样。...矩阵相乘的转置等于先转置矩阵然后再倒序相乘,这一结论可以扩展到任意矩阵相乘的情形: ? 标准伴随矩阵 矩阵的标准伴随矩阵为其代数余子式矩阵的转置矩阵,记为 adj M;以三阶方阵为例: ?
(5) 矩阵的转置 对实数矩阵进行行列互换,对复数矩阵,共轭转置,特殊的,操作符.’共轭不转置(见点运算); (6) 点运算在MATLAB中,有一种特殊的运算,因为其运算符是在有关算术运算符前面加点,...3、矩阵的转置与旋转 (1) 矩阵的转置 转置运算符是单撇号(’)。 (2) 矩阵的旋转 利用函数rot90(A,k)将矩阵A旋转90o的k倍,当k为1时可省略。...(2) 矩阵的伪逆如果矩阵A不是一个方阵,或者A是一个非满秩的方阵时,矩阵A没有逆矩阵,但可以找到一个与A的转置矩阵A’同型的矩阵B,使得:ABA=A,BAB=B 此时称矩阵B为矩阵A的伪逆,也称为广义逆矩阵...字符串是以ASCII码形式存储的。abs和double函数都可以用来获取字符串矩阵所对应的ASCII码数值矩阵。相反,char函数可以把ASCII码矩阵转换为字符串矩阵。...与字符串有关的另一个重要函数是eval,其调用格式为: eval_r(t) 其中t为字符串。它的作用是把字符串的内容作为对应的MATLAB语句来执行。
令 A 是一个 N×N 的方阵,且有 N 个线性无关的特征向量 qi(i=1,…,N)。这样, A 可以被分解为: A= QΛQ-1 其中 Q 是N×N方阵,且其第 i列为 A 的特征向量 。...Q是正交矩阵,正交阵的逆矩阵等于其转置,所以 ? = ? . ? 对x的变换是正交变换,它将x用新的坐标系来表示,这个坐标系就是A的所有正交的特征向量构成的坐标系。...奇异值分解SVD 特征值分解可以方便的提取矩阵的特征,但是前提是这个矩阵是一个方阵。如果是非方阵的情况下,就需要用到奇异值分解了。先看下奇异值分解的定义: ?...其中A是目标要分解的m * n的矩阵,U是一个 n * n的方阵,Σ 是一个n * m 的矩阵,其非对角线上的元素都是0。 ? 是V的转置,也是一个n * n的矩阵。...也就是说,我们也可以用前r大的奇异值来近似描述矩阵。r是一个远小于m、n的数,这样就可以进行压缩矩阵。 通过奇异值分解,我们可以通过更加少量的数据来近似替代原矩阵。
令 A 是一个 N×N 的方阵,且有 N 个线性无关的特征向量 qi(i=1,…,N)。这样, A 可以被分解为: A= QΛQ-1 其中 Q 是N×N方阵,且其第 i列为 A 的特征向量 。...假如现在有一个向量x,我们可以得出下面的结论: Q是正交矩阵,正交阵的逆矩阵等于其转置,所以 = ....奇异值分解SVD 特征值分解可以方便的提取矩阵的特征,但是前提是这个矩阵是一个方阵。如果是非方阵的情况下,就需要用到奇异值分解了。...先看下奇异值分解的定义: 其中A是目标要分解的m * n的矩阵,U是一个 n * n的方阵,Σ 是一个n * m 的矩阵,其非对角线上的元素都是0。 是V的转置,也是一个n * n的矩阵。...也就是说,我们也可以用前r大的奇异值来近似描述矩阵。r是一个远小于m、n的数,这样就可以进行压缩矩阵。 通过奇异值分解,我们可以通过更加少量的数据来近似替代原矩阵。
Norm \(L^p\) norm 定义如右: \(||x||_p=(\sum_i|x_i|^p)^{\frac{1}{p}}\) for \(p∈R,p≥1\)....任何满足如下条件的函数都可视为norm: \(f(x)=0 \, \Rightarrow x=0\) \(f(x+y)≤f(x)+f(y)\) (三角不等式) \(\forall α ∈R,f(αx)=...矩阵A的非零奇异值是矩阵\(AA^T\)或者\(A^TA\)的平方根。 矩阵D是diagonal matrix,注意不一定是方阵。D对角线上的即为矩阵A的奇异值(singular value)。...如果A是一个非方阵的矩阵,当它的row大于column时,很有可能此时无解;而当row小于column时,可能有多解。...\(D^+\)是矩阵D的伪逆,它是首先将D的非零元素取倒数得到一个矩阵,然后将这个矩阵转置之后就得到了\(D^+\)。 当矩阵A的row比column少时,使用伪逆可以得到很多解。
正交分解 矩阵的正交分解又称为QR分解,是将矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵的乘积的形式。 任意实数方阵A,都能被分解为 。这里的Q为正交单位阵,即 R是一个上三角矩阵。...,则存在正交矩阵Q和实非奇异上三角矩阵R使A有QR分解;且除去相差一个对角元素的绝对值(模)全等于1的对角矩阵因子外,分解是唯一的....定理2 设A是m×n实矩阵,且其n个列向量线性无关,则A有分解A=QR,其中Q是m×n实矩阵,且满足QHTQ=E,R是n阶实非奇异上三角矩阵该分解除去相差一个对角元素的绝对值(模)全等于1的对角矩阵因子外是唯一的...= QRSchmidt(A,b) %方阵的QR的Gram-Schmidt正交化分解法,并用于求解AX=b方程组[m,n]=size(A); if m~=n %如果不是方阵,则不满足QR分解要求...其中,Ah是A的共轭转置 酉矩阵性质 如果A是酉矩阵 ? ? 也是酉矩阵; det(A)=1; 充分条件是它的n个列向量是两两正交的单位向量。
转置 矩阵的转置是通过行与列的交换得到的。我们可以使用np.transpose()函数或NumPy ndarray.transpose()方法或ndarray。...逆 方阵的逆可以通过numpy linalg包的inv()函数找到。如果方阵的行列式不为0,它的逆矩阵就为真。...伪逆 即使对于奇异矩阵(行列式为0的方阵),也可以使用numpy linalg包的pinv()函数计算伪(非真实)逆。...如果方阵是非奇异的(行列式不为0),则真逆和伪逆没有区别。 扁平化 Flatten是一种将矩阵转换为一维numpy数组的简单方法。为此,我们可以使用ndarray对象的flatten()方法。...如果有一个非零向量x满足下列方程,λ标量称为A的特征值。 ? 向量x称为与λ相对应的A的特征向量。 在numpy中,可以使用eig()函数同时计算特征值和特征向量。
(2)矩阵乘法一般不能随便消去一个非零矩阵,A≠0 且AB=AC,不能得到B=C。 (3)两个非零矩阵的乘积可以使零矩阵,即但是不能得到A=0或B=0。...二、矩阵的变化 矩阵的转置:把m,n矩阵的行换成同序号的列,得到n,m矩阵,称为A的转置矩阵记为AT。 ? ?...伴随矩阵:设A是n阶方阵,Aij是行列式A中元素aij的代数余子式,以Aij为元素组成如下n阶方阵: ? 称其为方阵A的伴随矩阵,记做A*.注意:非方阵没有伴随矩阵,因为非方阵没有行列式。...伴随矩阵定理:设A是n阶方阵,A*是A的伴随矩阵,则有AA*=A*A=AE。 ? 已知代数余子式重要性质: ? 可得 ? 逆矩阵:设A是n阶方阵,如果存在n阶方阵B,使得 ?...则称方阵A是可逆矩阵,称方阵B是A的逆矩阵,记做A-1,即B=A-1 结合逆矩阵和伴随矩阵可得。 ? 可逆运算的规律: 如果A可逆,A-1也可逆 ? 如果A可逆,则λA可逆 ?
另外这里的\(A∈R^{n×n}\)默认是方阵,因为只有方阵才能计算行列式。 行列式如何计算的就不在这里赘述了,下面简要给出行列式的各种性质和定理。...定理1:当且仅当一个方阵的行列式不为0,则该方阵可逆。...设\(λ=λ_i\)是矩阵\(A\)的一个特征值,则有方程\((A-λ_iv)x=0\),可求得非零解\(x=p_i\)即为\(λ_i\)对应的特征向量。...所谓平方根法,就是利用对称正定矩阵的三角分解得到的求解对称正定方程组的一种有效方法。它是把一个对称正定的矩阵表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解。...答案在下面的特征值分解/对角化定理中: 当且仅当方阵\(A∈R^{n×n}\)满秩(即有n个独立的特征向量)时,有 \[A=PDP^{-1}\] 其中\(P\)是由\(A\)的特征矩阵组成的可逆矩阵
对于二阶方阵来说,它的行列式的值为主对角线上的乘积减去非主对角线上的乘积。 反过来,则 ? ,由此,我们可以看出 ? 行列式表示向量组在空间中形成的有向体积 ?...在这里,L、U的行列式的值和它们转置的行列式的值肯定是相等的,因为L是下三角矩阵,U是上三角矩阵,它们的行列式都等于对角矩阵的行列式的值,而L转置后是一个上三角矩阵,U转置后是一个下三角矩阵,它们的行列式同样等于对角矩阵的行列式的值...由于P和P'和它们的转置后的行交换的次数是一样的,所以P和P'的行列式的值和它们转置后的行列式的值是相等的, ? 得证。 我们之前讲的所有性质,都是基于行的。换成列一样存在。...这个齐次线性方程组有非零解,根据方阵的等价命题中的2和15可知,其实就是 ? 不可逆,必然 ? 的行列式等于0,即 ? ,我们称该方程为特征方程 我们依然以 ?...R ? 我们将任意两个向量,先相加再投影,和先投影再相加,所得到的结果一定是相同的。同一个向量乘以一个常数再投影,与先投影再乘以一个常数也是相同的。
下面将对亚马逊中国的前两种表现形式进行简单说明: ● 对于非登录用户,亚马逊中国在网站首页和类目栏,会根据各个类目畅销品的情况做响应的推荐,其主要表现形式为排行榜。...因此,实际中一般采用带权的皮尔逊相似度(P. 2) 。...,但是它只是对方阵而言的,在现实的世界中,我们看到的大部分矩阵都不是方阵,比如说有N个学生,每个学生有M科成绩,这样形成的一个N*M的矩阵就不可能是方阵,我们怎样才能描述这样普通的矩阵呢的重要特征呢?...,V’(V的转置)是一个N * N的矩阵,里面的向量也是正交的,V里面的向量称为右奇异向量),从图片来反映几个相乘的矩阵的大小可得下面的图片 ?...那么奇异值和特征值是怎么对应起来的呢?首先,我们将一个矩阵A的转置 *A,将会得到一个方阵,我们用这个方阵求特征值可以得到: ? 这里得到的v,就是我们上面的右奇异向量。此外我们还可以得到: ?
为转置 ? ? ? 表示n阶单位阵 ? ? ? 对于n阶方阵A,它的迹是主对角线上的元素之和,即 ? ,有如下性质: ? ? ? n阶方阵行列式定义为: ? ,其中Sn为所有n阶排列的集合, ?...的值为-1或+1取决于 ? 为奇排列或者偶排列,即其中出现的降序的次数为奇数或者偶数,例如(1,3,2)中降序次数为1,(3,1,2)中降序次数为2。 n阶方阵的行列式有如下性质: ? ? ? ?...f(x)关于x的二阶导数是称为海森矩阵(Hessian matrix)的一个方阵,其第i行第j列上的元素为: ? 向量和矩阵的导数满足乘法法则 ? ? 由 ? 和上式可知: ?...证明过程见:逆矩阵求导 若求导的标量是矩阵A的元素,则有 ? ? ? ? ? ,证明过程如下:参考:方阵的迹(trace)及其微分(导数) ? SVD 任意实矩阵A都可以分解为: ?...U中的列向量称为A的左奇异向量,V中的列向量称为A的右奇异向量, ? 是奇异值,矩阵A的秩等于非0奇异值的个数。
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