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检查矩阵是具有给定秩的半正定矩阵(在Julia中)

检查矩阵是具有给定秩的半正定矩阵，是指对于一个给定的矩阵A，我们需要判断它是否是一个半正定矩阵，并且其秩等于给定的秩。

半正定矩阵是指对于任意非零向量x，都有x^T * A * x >= 0成立。其中，x^T表示x的转置，*表示矩阵的乘法。

在Julia中，我们可以使用线性代数库LinearAlgebra来进行矩阵的计算和判断。具体的步骤如下：

导入LinearAlgebra库：使用using LinearAlgebra命令导入LinearAlgebra库，以便使用其中的函数和方法。
创建矩阵A：使用A = [a b c; d e f; g h i]的形式创建一个3x3的矩阵A，其中a、b、c等为矩阵元素的值。
判断矩阵A是否为半正定矩阵：使用isposdef(A)函数来判断矩阵A是否为正定矩阵。如果返回值为true，则表示矩阵A是半正定矩阵；如果返回值为false，则表示矩阵A不是半正定矩阵。
判断矩阵A的秩是否等于给定的秩：使用rank(A)函数来计算矩阵A的秩，并与给定的秩进行比较。如果两者相等，则表示矩阵A的秩等于给定的秩；如果两者不相等，则表示矩阵A的秩不等于给定的秩。

综上所述，通过以上步骤，我们可以检查一个矩阵是否具有给定秩的半正定性。在实际应用中，半正定矩阵常用于优化问题、信号处理、机器学习等领域。

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相关搜索:在Tensorflow中查找子矩阵的秩 Julia中具有多项式项的矩阵在R中创建具有给定概率的随机项的矩阵在julia中执行按索引的矩阵运算 Julia -使用mvNormal生成具有给定均值和协方差矩阵的多变量高斯样本在Julia中求矩阵的最大值的位置系统在计算上来自linearHypothesis的奇异误差，但矩阵具有最大秩在Julia中如何连接对角线形式的矩阵在涉及if、else和矩阵的Julia中实现函数的困难在Julia中接受数字矩阵的所有向量作为函数参数在Julia中获得满足多个布尔值的矩阵的列如何在julia中创建具有[-1,1]均匀分布的稀疏矩阵在R中具有不同行数的堆叠矩阵在矩阵中查找具有条件的数据在Pyhton中创建具有特定条件的矩阵使用给定的PCoA距离矩阵在R中创建UniFrac图尝试在R中创建具有转换规则的矩阵如何检查dataframe中的列在R[产生矩阵]中是否相同在scipy稀疏矩阵中索引数组的顺序是如何确定的？在Scipy中，如何检查两个稀疏矩阵之间的差异？

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首发：吴恩达的 CS229的数学基础（线性代数），有人把它做成了在线翻译版本！

可以看出，对于任何非奇异，虽然这是一个很好的“显式”的逆矩阵公式，但我们应该注意，从数字上讲，有很多更有效的方法来计算逆矩阵。 3.11 二次型和半正定矩阵给定方矩阵和向量，标量值被称为二次型。...这通常表示为（或），并且通常将所有正定矩阵的集合表示为。对于所有向量，对称矩阵是半正定(positive semidefinite ,PSD)。这写为（或仅），并且所有半正定矩阵的集合通常表示为。...很明显，如果是正定的，那么是负定的，反之亦然。同样，如果是半正定的，那么是是半负定的，反之亦然。如果果是不定的，那么是也是不定的。正定矩阵和负定矩阵的一个重要性质是它们总是满秩，因此是可逆的。...最后，有一种类型的正定矩阵经常出现，因此值得特别提及。给定矩阵（不一定是对称或偶数平方），矩阵（有时称为Gram 矩阵）总是半正定的。此外，如果（同时为了方便起见，我们假设是满秩），则是正定的。...值得庆幸的是，在机器学习的大多数场景下，处理对称实矩阵就足够了，其处理的对称实矩阵的特征值和特征向量具有显着的特性。在本节中，我们假设是实对称矩阵, 具有以下属性：的所有特征值都是实数。

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正定，半正定矩阵

正定给定一个大小为n \times n 的实方阵A ，若对于任意长度为n的非零向量x ，有x^TAx>0A是一个正定矩阵。此时，若A为对称方阵，则称A为对称正定矩阵。...半正定给定一个大小为n \times n 的实方阵A ，若对于任意长度为n的非零向量x ，有x^TAx \ge 0 恒成立，则矩阵A是一个半正定矩阵。...C，使A=C′C；存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B′B；存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使A=R′R 。...协方差矩阵半正定在概率统计中，多维变量的协方差矩阵是对称矩阵，事实上同时它也是半正定矩阵：推导考虑一个由n个m维向量刻画的分布，即共n条数据，每条数据由一个m维向量表示： image.png...n { {Y_{ij} } ^ 2} \ge 0 因此协方差矩阵的特征值非负，是半正定矩阵。

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正定矩阵与半正定矩阵定义性质与理解

若A的各阶顺序主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶顺序主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。...Q是正定的半正定矩阵设 A A是实对称矩阵。...如果对任意的实非零列向量x有xTAx≥0x有x^TAx≥0，就称A为半正定矩阵。对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。...性质: 半正定矩阵的行列式是非负的；两个半正定矩阵的和是半正定的；非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。...等价条件: A A是半正定的； AA的所有主子式均为非负的； A A的特征值均为非负的；存在n阶实矩阵C，使A=C'CC，使A=C′C；存在秩为r的r×n实矩阵 B B，使A=B'BA=B′

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线性代数--MIT18.06(三十五)

（3）判断下列陈述的正误 ° ? ° ? 可逆 ° ? 是正定矩阵（4） ? 是否对于任意的 ? 总存在至少一个解？并且总是存在无穷解？解答（1）首先从 ?...行不满秩，因此其不满秩，那么它不可能为正定矩阵，可以为半正定矩阵。于是我们也就知道 ? 和 ?...为最小为何值时，矩阵 ? 为半正定矩阵 3.求最小的 ? ，使得 ? 为半正定矩阵 4.已知初始值 ? 如下所示，并且 ? , 求解 ? ?...2.要使矩阵为半正定矩阵，则行列式的值为零，即矩阵为奇异矩阵，可以发现前两行行相加正好可以使其等于第三行，因此取 ? 即可 3.已知对矩阵进行单位平移，其特征值就同样增加相同的量，于是 ?...的特征值为 ? ， ? ， ? ，半正定矩阵的所有特征值大于等于零，因此需要 ? ，即 ? 4.可知 ? 为马尔科夫矩阵，并且特征值分别为 0.5 ，-0.5 ，1 ，当 ?

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万字长文带你复习线性代数！

6、矩阵乘法 6.1 矩阵乘法的含义给定两个矩阵A和B，其相乘结果中的元素(i,j)是矩阵A的第i行和矩阵B的第j列的内积，因此，矩阵A的列数一定要个矩阵B的行数相等。 ?...12.3 检查一个标量是否为特征值检查一个标量是否为特征值，只需要判断其对应的特征空间是否只有零向量即可： ? 12.4 计算特征值如果一个标量是矩阵A的特征值，那么他会满足下面所有的条件： ?...12.5 正定矩阵&半正定矩阵如果一个矩阵的所有特征值都大于0，那么这个矩阵被称为正定矩阵(positive definite matrix)，如过特征值都大于等于0，则称为半正定矩阵。...那么正定或者半正定矩阵的含义是什么呢？这里我们以正定矩阵为例。...我们知道一个矩阵的A代表一种线性变化，那么如果一个矩阵是正定的，就有xTAx>0,假设x在经过A的变换后变为y，那么xTy>0，即x和y的内积大于0,或者说夹角小于90度。

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线性代数--MIT18.06(三十三)

正定矩阵的性质，所有特征值都大于 0 ，而目前存在为 0 的特征值，因此矩阵不可能为正定矩阵，但是当 ? ，则矩阵为半正定矩阵是否可能是马尔科夫矩阵?...得到其行空间对应的列空间的向量，而式子中的 ? 为对应的放缩因子(由于投影后的长度可能不一致，因此需要通过一个常数项来缩放) 那么问题来了，给定矩阵分解形式如下所示，可以得出 ?...如果修改，则矩阵为奇异矩阵，其秩为 1，由于是 2阶矩阵，因此零空间为 1 维，并且零空间中的特征向量就为 ? 【四】假设矩阵 ?...无法判断正定矩阵的全部性质。是否可对角化? 是。正交矩阵都可对角化是否可逆? 是。因为是正交矩阵,列向量独立 ? 是否为投影矩阵? 投影矩阵的性质，对称且 ? ?...已经在列空间之中，那么特征值为 0 的特征向量，就取与 ? 正交（垂直）即可，即 ? 2.旋转矩阵直接使用求解方法求解 ? 可以发现特征值是共轭的，那么特征向量也是共轭的，代入求解 ?

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【技术分享】非负最小二乘

假设A为满秩，$A^{T}A$为n阶对称正定矩阵，我们可以求得x的值为以下的形式： math.1.6.png 1.3 非线性最小二乘问题假设在（1.1）中，$f_{i}(x)$为非线性函数，且F....png 如果$A_{k}$为列满秩，且$A_{k}^{T}A_{k}$是对称正定矩阵，那么由（1.11）可以得到x的极小值。 ...定理2.4 对于正定二次函数，共轭梯度法中因子beta_k具有下列表达式对于二次凸函数，共轭梯度法的计算步骤如下： 3 最小二乘法在spark中的具体实现 Spark ml中解决最小二乘可以选择两种方式...乔里斯基分解分解是把一个对称正定的矩阵表示成一个上三角矩阵U的转置和其本身的乘积的分解。在ml代码中，直接调用netlib-java封装的dppsv方法实现。...非负最小二乘问题要求解的问题如下公式其中ata是半正定矩阵。在ml代码中，org.apache.spark.mllib.optimization.NNLS对象实现了非负最小二乘算法。

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矩阵特殊运算

（半正定）矩阵的 Hadamard 积也是正定（半正定）的。...半正定矩阵，则 ∣A∗B∣≥a11⋯ann∣B∣\begin{array}{c} |\boldsymbol{A} * \boldsymbol{B}| \geq a_{11} \cdots a_{nn}...半正定矩阵，是的特征值，是矩阵乘积的特征值，则 ∏i=knλi≥∏i=knλi^, k=1,⋯ ,n\begin{array}{c} \prod_{i=k}^n \lambda_i...3.1.2 广义 Kronecker 积给定个矩阵组成矩阵组。...Khatri-Rao 积 4.1 定义两个具有相同列数的矩阵和的 Khatri-Rao 积记为，它是一个矩阵，定义为： F⊙G=[f1⊗g1,⋯ ,fn⊗gn]∈Rpq×

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线性代数知识汇总

例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有 n个未知量的一次方程称为线性方程。...行列式非零矩阵可逆方阵满秩向量组满秩（向量个数等于维数）。 2....，从而算得行列式的值定理中包含着三个结论： 1）方程组有解；（解的存在性） 2）解是唯一的；（解的唯一性） 3）解可以由公式(2)给出....向量组的线性相关性 5.1 向量组及其线性组合 5.2 向量组的线性相关性 5.3 向量组的秩结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩是唯一的． 5.4...6.1.4 正交矩阵或正交阵 6.1.5 正交矩阵的性质 6.2 方阵的特征值与特征向量 6.2.1 正定矩阵/半正定矩阵 1）矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于等于零(>=0)。

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博客 | MIT—线性代数（下）

但需要格外注意的是，采用这种方法的前提是A的列向量必须满秩，保证 (A^T·A) 可逆。所以，在机器学习中，通常会预处理样本数据，保证输入到假设函数中的特征维度线性无关！...n阶傅里叶矩阵 F^n = [1,w^i,w^{2i},...,w^{(n-1)i}] ，其中 w^i 表示w的i次幂，i从0开始。在 F^n 中定义 w^n=1 ，则w是1的n次方根，有 ?...12、正定矩阵与最小值：正定矩阵是一类特殊的对称矩阵，它所有的特征值全部为正，其对应的任意阶子矩阵的行列式全都大于0。标准定义为，对任意向量x，若有 x^T·A·x>0 ，则A为正定矩阵。...最后，正定矩阵来源于最小二乘法，现实中大多数A都是长方形矩阵，若A的列向量线性无关，则 A^T·A 正定，若去除线性无关假设，即为半正定。...但现实中遇到的矩阵经常是长方形矩阵，这时就需要考虑3种情况，列满秩r=n，行满秩r=m与一般秩r<n&&r<m。

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数值优化（2）——线搜索：步长选取条件的收敛性

如果我们设的话，那么可以得到如果我们设的维度为，那么可以得到实际上就是三个矩阵的乘积，并且第一个矩阵是行满秩的，第三个矩阵列满秩，而第二个矩阵是满秩的方阵。...这就可以得到是满秩的，结合上可以写成（推导的第二步）的形式，所以就可以得到矩阵正定的结论。这里有一个要注意的地方，就是实对称矩阵不一定正定，一定要把能够把它拆成的形式才可以。...设是的唯一极小值点，所有的迭代点都满足B-N条件，那么我们有其中是常数。也就是说，我们这里的海塞矩阵的正定性只在一个小区域上满足，并且这个正定性的要求还很高。...既然左边的式子相当于是一个函数差，题目中又有比较明显的海塞矩阵的提示，那么我们自然考虑Taylor展开，也就是说有因为在局部上海塞矩阵正定（但是这个局部也足够使用了，因为我们每一步都是下降的，所以我们自然有每一步的点都在...事实上，如果海塞矩阵的性质很差，也就是说矩阵只有半正定。那么这个时候，对应的下界常数就消失了。这个时候理论上可以证明仅仅存在次线性收敛速度。不过这部分内容超纲了，我们就不再这里赘述了。

1.2K1 0

机器学习基础知识详解！

满秩矩阵或者方阵才有逆矩阵，当一个矩阵不满秩，在对角线上存在为0的特征值，求逆的时候无法计算从而不可逆，那我们给它加上一个单位矩阵，这样它就不为0了，求解的时候加上单位矩阵其实就是对线性回归引入正则化的过程...L1正则化（也叫Lasso回归）是在目标函数中加上与系数的绝对值相关的项，而L2正则化（也叫岭回归）则是在目标函数中加上与系数的平方相关的项。...在上二阶连续可微 2.的Hessian(海塞)矩阵在上是半正定 3.半正定矩阵的判定定理之一：若实对称矩阵的所有顺序主子式均为非负，则该矩阵为半正定矩阵。...在高度相关变量的情况下，它支持群体效应。它对所选变量的数目没有限制它具有两个收缩因子 λ1 和 λ2。参考：https://www.zhihu.com/search?...朴素⻉贝叶斯，逻辑回归，HMM，语⾔模型中哪⼀个是⽣成模型，哪⼀个是判别模型？生成模型（Generaive Model）一般以概率的方式描述了数据的产生方式，通过对模型采样就可以产生数据。

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数值优化（6）——拟牛顿法：BFGS，DFP，DM条件

因为二阶信息本质上是一个矩阵，在大规模问题上计算一个矩阵的复杂度是难以接受的，所以拟牛顿法自然就有了它独特的优势。...这个“尽可能小”得含义，其实就是所以我们提出的一个思路就是考虑这样的一个更新这个更新的思路在于我们的下一步的矩阵只在上一个矩阵的基础上加了一个秩为1的对称半正定矩阵。那么如何求解呢？...另一方面，矩阵可以很好的逼近海塞矩阵，但是线搜索每一次只会利用到一个方向上的海塞矩阵的信息（比方说表示矩阵在这个方向上是负定的，在的其它方向上是什么样并不关心）。...那么这个就决定了你“拉凸”的程度。原始论文上提供的是这两个方法都可以使得最终的算法在非凸情况下也可以具有全局收敛性。...好的，到此我们就算是介绍好了所有的拟牛顿法的重要内容。小结这一节我们主要关注的是拟牛顿法的算法，理论和应用。因为它可以巧妙地避开牛顿法中对海塞矩阵的逆的求解，同时可以保证算法具有超线性的收敛速度。

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数值优化（B）——二次规划（上）：Schur补方法，零空间法，激活集方法

比方说在这里，如果我们设是一个对称半正定矩阵，那么我们认为它就是一个凸的二次规划问题，如果是一个对称正定矩阵，那么它就是一个严格凸的二次规划问题。...在这一节中，我们主要关心的是凸二次规划问题，也就是对称半正定。使用和上一节完全一样的策略，我们可以把问题再做一步标准化，就会得到下面的形式其中 , 是行满秩的。...Lemma 1: 设满足，也即的列组成了的零空间，那么只要是一个正定阵，行满秩，则矩阵可逆，也即KKT条件的解唯一。我们证明一下这个结论。...这里还有一个细节是，对于矩阵，它本身是一个对称半正定阵，所以是可以使用Cholesky分解的，这样的话就不会用上QR分解，复杂度会稍微低一些。但是这里有一个麻烦是数值误差。...当然了这里的QR分解中是列满秩的，不是满秩的，那么这个时候根据高等代数的知识，我们可以得到与所张成的空间相同。当然了，这个方法也有计算比较复杂的地方，这就是方程。

1.8K2 0

如何理解正定矩阵和半正定矩阵

乍看正定和半正定会被吓得虎躯一震，因为名字取得不知所以，所以老是很排斥去理解这个东西是干嘛用的，下面根据自己和结合别人的观点解释一下什么是正定矩阵(positive definite, PD) 和半正定矩阵...定义首先从定义开始对PD和PSD有一个初步的概念：正定矩阵(PD): 给定一个大小为 n\times n 的实对称矩阵 A ，若对于任意长度为 n 的非零向量 X ，有 X^TAX...半正定矩阵(PSD) 给定一个大小为 n\times n 的实对称矩阵 A ，若对于任意长度为 n 的非零向量 X ，有 X^TAX≥0 恒成立，则矩阵 A 是一个半正定矩阵。...说人话来理解光看定义其实肯定不能理解到底是个啥，以及为什么要这么定义。所以下面用说人话的方式来进行解释。仔细看一下上面的定义可以看到两种矩阵的唯一区别就是正定要求是大于0，而半正定要求大于等于0。...其实我们可以把 y=X^TAX 看作是 y=ax^2 的多维扩展表达式，我们所说的正定矩阵就是希望矩阵 A 能够起到 a>0 的效果，半正定就是希望有一个矩阵 A 能够起到像 a≥0 的效果。

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斯坦福助理教授马腾宇：ML非凸优化很难，如何破？

在近日的一篇文章中，斯坦福大学助理教授马腾宇介绍了机器学习中的非凸优化问题，包括广义线性模型、矩阵分解、张量分解等。非凸优化在现代机器学习中普遍存在。...的优化，分析路径包括两个部分：a) 所有种群风险的局部极小值都是全局极小值；b) 经验风险 ? 具有同样的属性。不再是凸的。在本节其余部分中，研究者对这个问题进行了规律性假设。...因此，需要更复杂的技术来区分鞍点和局部极小值。主成分分析的一种解释是用最佳低秩近似来逼近矩阵。给出一个矩阵 ? ，求其最佳秩 r 逼近（Frobenius 范数或谱范数）。...，并假设 M 是维数为 d×d 的对称半正定。在这种情况下，最佳秩 1 近似的形式为 ? 。矩阵补全是指从部分观测项中恢复低秩矩阵的问题，在协同过滤和推荐系统、降维、多类学习等方面得到了广泛的应用。...张量分解与矩阵分解或广义线性模型的根本区别在于，这里的非凸目标函数具有多个孤立的局部极小值，因此局部极小值集不具有旋转不变性，而在矩阵补全或主成分分析中，局部极小值集具有旋转不变性。

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机器学习中的优化算法！

具有连续二阶偏导数，当前迭代点是 ? 。 ? 在 ? 的泰勒展开为： ? 其中 ? 。在点 ? 的邻域内，用二次函数 ? 去近似 ? ，求解问题 ? 。若 ? 正定，则迭代方向 ?...（对严格凸函数具有全局收敛性） 2.3 混合方法基本Newton方法在迭代过程中会出现Hesse矩阵奇异、不正定的情形，基本Newton方法还会出现与 ? 几乎正交的情形。...满足这两个方程的矩阵有很多，因此拟牛顿方法是一类方法。 ? 在上述算法中，初始矩阵 ? 一般取单位矩阵，第一步迭代方向取为负梯度方向。那么，算法的核心就是怎么由 ? 去修正 ? ，即 ? ，而 ?...的取法是多种多样的，但是他应该具有简单、计算量小、有效的特点。 3.2 拟牛顿方法的修正公式 3.2.1 对称秩1公式即取 ? 为对称秩1矩阵，即有 ? 。将 ? 代入拟牛顿方程 ?...最终得到对称秩1公式： ? 3.2.2 对称秩2公式若 ? 为对称秩2矩阵，即 ? ，其中 ? 待定。将 ? 代入 ? 中，得到 ? 的修正公式 ? 。（1）DFP方法在 ?

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二次型优化问题 - 4 - 二次型优化方法

当前问题解方程\bf{Ax}=\bf{b} 其中\bf{A}为半正定矩阵 \bf{A}的秩与其增广矩阵\bf{Ab}的秩相等优化方法代数法高斯消元法数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法...），是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。...但其算法十分复杂，不常用于加减消元法，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。...image.png 其他代数方法在高斯消元法基础上进行改进高斯主元素消元法为解决无法面对主元素为0或主元素绝对值过小带来的精度不够的问题，提出了主元素消元核心思想是选择系数绝对值最大的行作为基准进行消元...O(n^3)的数量级上，在实践中难以接受；迭代法的思想是可以每次贪心地计算局部最优解，逐步向全局最优解逼近最速下降法/梯度法沿着当前梯度的反方向前进至方向梯度为0，重新计算当前位置的梯度，

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