数学中的中庸之道

写下文章的标题,内心深处的声音告诉我,今天要故作高深的写一个特别难的话题,可惜现实是残酷的,水平有限,为避免被打,咱们先来讲个故事。

故事

在1875年,有个叫高尔顿的人做了这样一个实验,他选了7组尺寸大小不一的豌豆,每组10粒种子,种植之后记录了原始的豌豆种子(父代)和新长出来的豌豆种子(子代)的尺寸,并进行了研究对比,实验发现 并不是每一个子代都和父代一样,尺寸小的豌豆有时会有更大的子代,尺寸大的豌豆也会有更小的子代。高尔顿把这种现象叫做“返祖”(趋向于祖先的某种平均水平),也被称为向平均回归。

一个总体中在某一时期具有极端特征的个体在未来某一时刻将减弱它的极端性,这一趋势现在被叫做回归效应。在数学中回归的类别很多,今天我们从拿最简单的线性回归来举例。

线性回归

比如我们想研究一下房子的面积和房价的关系 ,生活常识告诉我们,房子越大,房价越高,而数学就是把这种经验归纳成数学公式,生活经验可以告诉我们一个大的方向,而数学公式可以告诉我们每多一平米房价涨了多少。

如图所示,我们把 房子的面积和房价的数值作了这样一张散点图,横坐标是房屋面积,纵坐标是房价,图形化虽然有利于发现两者的关系,但咋一看,这似乎只是一堆杂乱的点。

我们来看下一张图

这张图多了一条直线,这条直线虽然没有穿过所有的点,但却基本让图中的所有点均匀的分布在了直线两侧,换句话说我们找到了一个规律,这个规律能够代表房屋面积和房价的具体关系,虽然它不能非常准确的描述所有的关系,但也差的不多。

这种研究两个变量之间的关系的方法叫回归分析,图中所示为一元线性回归。数学中研究的很重要的一个问题就是如何找到这条直线,这个规律,但这不是本文的重点,感兴趣的可以搜索一下最小二乘法。

生活中我们积累了很多的经验,并希望通过这些经验在未来帮助我们解决问题,作出明智的选择。数学也是如此,我们研究两者的规律,归纳出数学公式,目的就是为了通过一个变量去预测两一个变量,因为我们对未知总是好奇的,但也是恐惧的,所以我们希望通过数学,让我们对未知有个参考。

回归分析的两个重要作用,一是研究相关性,比如房价和哪些因素有关,二是预测,希望知道房价的变化趋势。当然,影响某一事件的因素肯定不止一种,本文只是介绍了最简单的一元回归,多因素对应着多元回归。

回归与成长

生活中,我们的心情时好时坏,偶尔很极端,但最终可以通过自我调节回归正常,考试时我们考的的好的时候,也有考的不好的时候,但更多的时候我们是在一定范围内波动,工作中有表现极佳的时刻,也有困境重重很低迷的时候,但我们终将回归正常继续前行。

很多时候我们确实不用太执着于那些极端时刻,偶尔一两次的好坏都是正常现象,除非这种偶尔的极端变得普遍,可能有人会说如果都只在一个平均水平徘徊,我们是不是不用奋斗,任其自然就好了,我不这样认为。

可能一开始的时候,我们每个人都有自己的一条回归线,这条线是水平的,我们的很多表现都是在这条线上下徘徊。如果不做任何改变这条线只会随着时间的推移,水平延长。而此刻你的努力,实际是在增加这条回归线的斜率,让这条线随着时间不仅延长而且升高。

斜率增加会让我们的成长之路变得陡峭,但却提高了单位时间可能到达的高度。爬坡是件费力的事情,但站在高出可以看见远处的风景,不能保证是多么的秀丽,但肯定和你想的不一样。

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