多元回归分析入门

在数量分析中,经常会看到变量与变量之间存在着一定的联系。要了解变量之间如何发生相互影响的,就需要利用相关分析和回归分析。在上一章讲述了相关分析有关内容。本章介绍回归分析基本概念,回归分析的主要类型:一元线性回归分析、多元线性回归分析、非线性回归分析、曲线估计、时间序列的曲线估计、含虚拟自变量的回归分析以及逻辑回归分析等。

j基本概念:

相关分析和回归分析都是研究变量间关系的统计学课题。在应用中,两种分析方法经常相互结合和渗透,但它们研究的侧重点和应用面不同。 在回归分析中,变量y称为因变量,处于被解释的特殊地位;而在相关分析中,变量y与变量x处于平等的地位,研究变量y与变量x的密切程度和研究变量x与变量y的密切程度是一样的。

在回归分析中,因变量y是随机变量,自变量x可以是随机变量,也可以是非随机的确定变量;而在相关分析中,变量x和变量y都是随机变量。 相关分析是测定变量之间的关系密切程度,所使用的工具是相关系数;而回归分析则是侧重于考察变量之间的数量变化规律,并通过一定的数学表达式来描述变量之间的关系,进而确定一个或者几个变量的变化对另一个特定变量的影响程度。

具体地说,回归分析主要解决以下几方面的问题。

? 通过分析大量的样本数据,确定变量之间的数学关系式。

? 对所确定的数学关系式的可信程度进行各种统计检验,并区分出对某一特定变量影响较为显著的变量和影响不显著的变量。

? 利用所确定的数学关系式,根据一个或几个变量的值来预测或控制另一个特定变量的取值,并给出这种预测或控制的精确度。

作为处理变量之间关系的一种统计方法和技术,回归分析的基本思想和方法以及“回归(Regression)”名称的由来都要归功于英国统计学家F·Galton(1822~1911)。

在实际中,根据变量的个数、变量的类型以及变量之间的相关关系,回归分析通常分为一元线性回归分析、多元线性回归分析、非线性回归分析、曲线估计、时间序列的曲线估计、含虚拟自变量的回归分析和逻辑回归分析等类型。

本案例只讲解多元线性回归

在实际问题中,影响因变量的因素往往有多个。

例如,商品的需求除了受自身价格的影响外,还要受到消费者收入、其他商品的价格、消费者偏好等因素的影响;影响水果产量的外界因素有平均气温、平均日照时数、平均湿度等。

因此,在许多场合,仅仅考虑单个变量是不够的,还需要就一个因变量与多个自变量的联系来进行考察,才能获得比较满意的结果。这就产生了测定多因素之间相关关系的问题。

研究在线性相关条件下,两个或两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系,称为多元线性回归分析,表现这一数量关系的数学公式,称为多元线性回归模型。多元线性回归模型是一元线性回归模型的扩展,其基本原理与一元线性回归模型类似,只是在计算上更为复杂,一般需借助计算机来完成。

对多元线性回归,也需要测定方程的拟合程度、检验回归方程和回归系数的显著性。

(1)拟合优度检验

测定多元线性回归的拟合程度,与一元线性回归中的判定系数类似,使用多重判定系数,其定义为

(2)回归方程的显著性检验(F检验)

多元线性回归方程的显著性检验一般采用F检验,利用方差分析的方法进行。

(3)回归系数的显著性检验(t检验)

回归系数的显著性检验是检验各自变量x1,x2,…,对因变量y的影响是否显著,从而找出哪些自变量对y的影响是重要的,哪些是不重要的。

与一元线性回归一样,要检验解释变量对因变量y的线性作用是否显著,要使用t检验。

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