如果存在性是存在的唯一规定性

如果我们将“存在性”视为存在的唯一规定性，即一个对象除了“存在”本身之外没有任何内在属性或结构，那么这样的对象在数学上只能有一个——因为任何两个不同的对象必然需要某种区分，而区分就引入了额外的规定性。这个唯一的、纯粹的存在就是数学中的空集 \varnothing，它没有任何元素，仅作为“存在”本身而存在。

以此为基础，通过严格的数学定义和公理化的生成规则，我们可以推导出整个数学宇宙。以下是具体的推导路径与结论。

1. 存在性的数学定义

· 定义：存在是一个对象，记为 E，满足 \forall x (x \notin E)。即 E 不含任何元素，其唯一属性就是存在。

· 唯一性：若有两个这样的对象 E_1 和 E_2，则它们都没有元素，由外延原则（见下文）可知它们相等。故 E 唯一，记作 \varnothing。

2. 从存在到集合论公理

为了从单一的 E 生成更多的数学对象，我们需要一组合法的构造规则。这些规则本身是关于“存在”的生成法则，它们保证了新对象的存在性，同时新对象的规定性仅来自于它们由哪些已存在的对象组成（即元素关系）。以下公理构成了ZFC集合论的基础，它们是从存在性出发所必需的假设。

· 外延公理：两个集合相等当且仅当它们有相同的元素。这确保了集合由其元素唯一确定，是对象同一性的基础。

· 配对公理：对任意集合 a, b，存在集合 \{a, b\}。从 E 出发，可得 \{E\}，进而 \{E, \{E\}\} 等。

· 并集公理：对任意集合 x，存在 \bigcup x，即 x 中所有元素的全体。

· 幂集公理：对任意集合 x，存在 \mathcal{P}(x)，即 x 的所有子集构成的集合。

· 无穷公理：存在一个归纳集，即包含 E 且对后继运算封闭的集合。这保证了自然数集的存在，从而引入无限。

· 替换公理模式：若一个可定义函数作用于一个集合，则其像也是集合。这允许通过映射生成新集合。

· 正则公理：每个非空集合都有一个与自身不相交的元素，防止循环属于链，确保宇宙的良基性。

· 选择公理：对任意一族非空集合，存在一个选择函数。这在处理无限族时保证某些对象的存在。

3. 构造数学宇宙

利用上述公理，我们可以递归地定义冯·诺依曼层级：

· V_0 = \varnothing

· V_{\alpha+1} = \mathcal{P}(V_\alpha)

· 对极限序数 \lambda，V_\lambda = \bigcup_{\alpha<\lambda} V_\alpha

则整个宇宙 V = \bigcup_{\alpha \in \mathrm{Ord}} V_\alpha 包含了所有集合。从唯一的原始存在 \varnothing 出发，通过迭代幂集，我们得到所有遗传有限集；再通过无穷公理和替换，得到自然数、实数、函数空间等全部数学对象。

4. 推导出的核心结论

· 存在的唯一性：所有数学对象最终都可追溯至同一个原始存在 \varnothing，它们的不同仅在于由哪些存在组成。

· 数学的生成性：整个数学宇宙是由单一存在通过集合论运算（配对、并集、幂集等）逐步构造出来的，这些运算本身就是存在的组合方式。

· 无穷的必然性：从有限出发，通过幂集和无穷公理，必然产生无限多个不同的存在，因此无穷是数学的内在要求。

· 数学基础的完备性：ZFC公理体系恰好刻画了从存在出发生成一切数学对象所需的全部规则，任何数学命题都可在这个框架内表达和推导。