版权声明:本文为博主原创文章,未经博主允许不得转载。 https://cloud.tencent.com/developer/article/1414846
本文简介了斜透视投影矩阵(oblique projection matrix)相关的一些知识
Unity 的这篇文档提及了斜透视投影的一些内容,还列出了示例代码:
using UnityEngine;
using System.Collections;
public class ExampleScript : MonoBehaviour {
void SetObliqueness(float horizObl, float vertObl) {
Matrix4x4 mat = Camera.main.projectionMatrix;
mat[0, 2] = horizObl;
mat[1, 2] = vertObl;
Camera.main.projectionMatrix = mat;
}
}
代码挺简单的,但是其中的原理文档中并未提及,本篇文章尝试简单讲解一下~
首先,我们要了解一下 Camera.projectionMatrix 这个矩阵的构成,简单起见,我们这里直接给出结论,有兴趣的朋友可以去看看完整的推导过程(很好的一篇文章,目前似乎还没有译文,有时间自己来翻译一下):
Unity 中的 Camera.projectionMatrix 遵循 OpenGL 的规范约定,正常的透视投影情况下,该矩阵的构成如下:
2nr−l0r+lr−l002nt−bt+bt−b000−f+nf−n−2nff−n00−10 \begin{bmatrix} \dfrac{2n}{r - l} & 0 & \dfrac{r + l}{r - l} & 0 \ 0 & \dfrac{2n}{t - b} & \dfrac{t + b}{t - b} & 0 \ 0 & 0 & -\dfrac{f + n}{f - n} & -\dfrac{2nf}{f - n} \ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡r−l2n0000t−b2n00r−lr+lt−bt+b−f−nf+n−100−f−n2nf0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
其中
正常的透视投影情况下,我们有:
r=−l ⟹ r+l=0 ⟹ r−l=2r(1)t=−b ⟹ t+b=0 ⟹ t−b=2t(2) \begin{aligned} & r = -l \implies r + l = 0 \implies r - l = 2r & \hspace{20 mm} (1)\ & t = -b \implies t + b = 0 \implies t - b = 2t & \hspace{20 mm} (2)\ \end{aligned} r=−l⟹r+l=0⟹r−l=2rt=−b⟹t+b=0⟹t−b=2t(1)(2)
所以上面的矩阵可以简化为:
nr0000nt0000−f+nf−n−2nff−n00−10 \begin{bmatrix} \dfrac{n}{r} & 0 & 0 & 0 \ 0 & \dfrac{n}{t} & 0 & 0 \ 0 & 0 & -\dfrac{f + n}{f - n} & -\dfrac{2nf}{f - n} \ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡rn0000tn0000−f−nf+n−100−f−n2nf0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
现在我们需要调整这个矩阵来达到斜透视投影的效果,怎么做呢?拿水平方向的斜透视举例,我们要做的其实就是 偏移(shift) 左(垂直)裁剪面的坐标 和 右(垂直)裁剪面的坐标,即偏移上面矩阵中的 lll 和 rrr, 假设我们偏移 sss 个坐标单位,则有:
l′=l+s(3)r′=r+s(4) \begin{aligned} & l' = l + s & \hspace{20 mm} (3) \ & r' = r + s & \hspace{20 mm} (4) \ \end{aligned} l′=l+sr′=r+s(3)(4)
考虑最开始的透视投影矩阵,由于我们变更了其中的 lll 和 rrr(变更为了 l′l'l′ 和 r′r'r′),所以新的(斜)透视投影矩阵变为:
2nr′−l′0r′+l′r′−l′002nt−bt+bt−b000−f+nf−n−2nff−n00−10 \begin{bmatrix} \dfrac{2n}{r' - l'} & 0 & \dfrac{r' + l'}{r' - l'} & 0 \ 0 & \dfrac{2n}{t - b} & \dfrac{t + b}{t - b} & 0 \ 0 & 0 & -\dfrac{f + n}{f - n} & -\dfrac{2nf}{f - n} \ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡r′−l′2n0000t−b2n00r′−l′r′+l′t−bt+b−f−nf+n−100−f−n2nf0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
将之前的 (1),(2),(3),(4)(1),(2),(3),(4)(1),(2),(3),(4) 这四个等式代入计算,我们得到:
nr0sr00nt0000−f+nf−n−2nff−n00−10 \begin{bmatrix} \dfrac{n}{r} & 0 & \dfrac{s}{r} & 0 \ 0 & \dfrac{n}{t} & 0 & 0 \ 0 & 0 & -\dfrac{f + n}{f - n} & -\dfrac{2nf}{f - n} \ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡rn0000tn00rs0−f−nf+n−100−f−n2nf0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
注意到相比之前简化的透视投影矩阵,只有一个矩阵元素发生了变化(第一行第三列,即M0, 2),从之前的 000 变为了 s/rs/rs/r,而 s/rs/rs/r 这个数值表示的则是(水平)倾斜度:
垂直方向的斜透视也同样可以依此分析,假设垂直方向的偏移量为 s′s's′ 坐标单位,我们能够得到:
nr0000nts′t000−f+nf−n−2nff−n00−10 \begin{bmatrix} \dfrac{n}{r} & 0 & 0 & 0 \ 0 & \dfrac{n}{t} & \dfrac{s'}{t} & 0 \ 0 & 0 & -\dfrac{f + n}{f - n} & -\dfrac{2nf}{f - n} \ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡rn0000tn000ts′−f−nf+n−100−f−n2nf0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
可以看到,相比之前简化的透视投影矩阵,新的(斜)透视投影矩阵也仅有一个矩阵元素发生了变化(第二行第三列,即M1, 2),并且该元素的数值同样表示(垂直)倾斜度(s′/ts'/ts′/t).
综上,如果我们给定了 (水平)倾斜度 和 (垂直)倾斜度,只要据此改变原透视投影矩阵的两个元素(设置 第一行第三列,即M0, 2 为(水平)倾斜度,设置 第二行第三列,即M1, 2 为(垂直)倾斜度)即可得到我们想要的斜透视投影矩阵~
讲到这里,如果再看一眼先前的示例代码的话,想必是一目了然了~
using UnityEngine;
using System.Collections;
public class ExampleScript : MonoBehaviour {
void SetObliqueness(float horizObl, float vertObl) {
Matrix4x4 mat = Camera.main.projectionMatrix;
mat[0, 2] = horizObl;
mat[1, 2] = vertObl;
Camera.main.projectionMatrix = mat;
}
}