Python快速实战机器学习(4) 逻辑回归
引言
机器学习是如今人工智能时代背景下一个重要的领域。这个“Python快速实战机器学习”系列，用Python代码实践机器学习里面的算法，旨在理论和实践同时进行，快速掌握知识。
前面课程：
概要
1、认识sigmoid函数，了解其性质；
2、学会推导逻辑回归的损失函数以及梯度；
3、学会用sklearn应用逻辑回归进行分类任务。
sigmoid函数
逻辑回归本来是一个回归(regression)模型，它也可以被用来作为一个分类模型，它易于实现，是工业界最常用的分类模型之一。
逻辑回归作为一个概率模型，为了解释其背后的原理，我们先引入一个概念：几率或者叫做概率。相信大家对这个概念非常熟悉了。比如一个人得某种病有一个概率；今天是否下雨也有一个概率。逻辑回归正是要试图还原这个概率。
逻辑回归的重点就是sigmoid函数，我们来认识一下logistic函数长什么样子：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def sigmoid(z):
return 1.0 / (1.0 + np.exp(-z))
z = np.arange(-7, 7, 0.1)
phi_z = sigmoid(z)
plt.plot(z, phi_z)
plt.axvline(0.0, color='k')
plt.ylim(-0.1, 1.1)
plt.xlabel('z')
plt.ylabel('$\phi (z)$')
# y axis ticks and gridline
plt.yticks([0.0, 0.5, 1.0])
ax = plt.gca()
ax.yaxis.grid(True)
plt.tight_layout()
# plt.savefig('./figures/sigmoid.png', dpi=300)
plt.show()
可以看到sigmoid函数的取值范围正是0到1，目的是模拟一个事件的发生概率，我们用一张图来准确描述逻辑分类器的建模过程：
有了样本的预测概率，再得到样本的类别值就很简单：当概率大于0.5，那么它就是属于类别1；当概率小于0.5，那么它就不属于这个类别而是另外一个类别。
学习参数权重
对逻辑回归模型有了基本认识后，我们回到机器学习的核心问题，怎样学习参数。我们求解损失函数最小时的权重参数，同样，对于逻辑回归，我们也需要定义损失函数。
在这之前我们定义一个似然(likelihood)函数：
其中y(i)是真实数据的类别，分别是0和1。这个函数的意思是预测结果和真实结果“有多像”，如果预测结果和真实结果一样，那结果就是1，否则会因为预测结果和真实结果的不同程度增大而减小。
逻辑回归的损失函数就是对似然函数取对数(log-likelihood)：
接下来，我们可以运用梯度下降等优化算法来求解最大化log-likelihood时的参数。
我们将有n个数据的目标函数写出来：
别看他很复杂，其实由于y(i)只能取两个值：0和1，所以我们将它展开来就非常简单了：
我们将这个表达式用图画出来：
def cost_1(z):
return - np.log(sigmoid(z))
def cost_0(z):
return - np.log(1 - sigmoid(z))
z = np.arange(-10, 10, 0.1)
phi_z = sigmoid(z)
c1 = [cost_1(x) for x in z]
plt.plot(phi_z, c1, label='J(w) if y=1')
c0 = [cost_0(x) for x in z]
plt.plot(phi_z, c0, linestyle='--', label='J(w) if y=0')
plt.ylim(0.0, 5.1)
plt.xlim([0, 1])
plt.xlabel('$\phi$(z)')
plt.ylabel('J(w)')
plt.legend(loc='best')
plt.tight_layout()
# plt.savefig('./figures/log_cost.png', dpi=300)
plt.show()
对于蓝线，如果逻辑回归预测结果正确，类别为1，则损失为0；对于橘线，如果逻辑回归预测正确，类别为0，则损失为0。如果预测错误，则损失趋向正无穷。
逻辑回归训练
考虑到sklearn中提供了高度优化过的逻辑回归实现，同时也支持多类别分类，我们就不自己实现了而是直接调用sklearn函数来训练模型：
from matplotlib.colors import ListedColormap
import matplotlib.pyplot as plt
import warnings
def versiontuple(v):
return tuple(map(int, (v.split("."))))
def plot_decision_regions(X, y, classifier, test_idx=None, resolution=0.02):
# setup marker generator and color map
markers = ('s', 'x', 'o', '^', 'v')
colors = ('red', 'blue', 'lightgreen', 'gray', 'cyan')
cmap = ListedColormap(colors[:len(np.unique(y))])
# plot the decision surface
x1_min, x1_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
x2_min, x2_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
xx1, xx2 = np.meshgrid(np.arange(x1_min, x1_max, resolution),
np.arange(x2_min, x2_max, resolution))
Z = classifier.predict(np.array([xx1.ravel(), xx2.ravel()]).T)
Z = Z.reshape(xx1.shape)
plt.contourf(xx1, xx2, Z, alpha=0.4, cmap=cmap)
plt.xlim(xx1.min(), xx1.max())
plt.ylim(xx2.min(), xx2.max())
for idx, cl in enumerate(np.unique(y)):
plt.scatter(x=X[y == cl, 0],
y=X[y == cl, 1],
alpha=0.6,
c=cmap(idx),
edgecolor='black',
marker=markers[idx],
label=cl)
# highlight test samples
if test_idx:
# plot all samples
if not versiontuple(np.__version__) >= versiontuple('1.9.0'):
X_test, y_test = X[list(test_idx), :], y[list(test_idx)]
warnings.warn('Please update to NumPy 1.9.0 or newer')
else:
X_test, y_test = X[test_idx, :], y[test_idx]
plt.scatter(X_test[:, 0],
X_test[:, 1],
c='',
alpha=1.0,
edgecolor='black',
linewidths=1,
marker='o',
s=55, label='test set')from sklearn import datasets
import numpy as np
iris = datasets.load_iris()
X = iris.data[:, [2, 3]]
y = iris.target
from sklearn.model_selection import train_test_split
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
X, y, test_size=0.3, random_state=0)
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
sc = StandardScaler()
sc.fit(X_train)
X_train_std = sc.transform(X_train)
X_test_std = sc.transform(X_test)
X_combined_std = np.vstack((X_train_std, X_test_std))
y_combined = np.hstack((y_train, y_test))
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
lr = LogisticRegression(C=1000.0, random_state=0)
lr.fit(X_train_std, y_train)
plot_decision_regions(X_combined_std, y_combined,
classifier=lr, test_idx=range(105, 150))
plt.xlabel('petal length [standardized]')
plt.ylabel('petal width [standardized]')
plt.legend(loc='upper left')
plt.tight_layout()
# plt.savefig('./figures/logistic_regression.png', dpi=300)
plt.show()我们顺便把上节课的内容也复习了一遍。运行结果：
