浅谈贝叶斯公式及其应用

概述

贝叶斯公式定义：

贝叶斯公式可以作如下解释：假定有n个两两互斥的“原因”，A1,A2,...,An可引起同一种“现象”B的发生。

若该现象已经发生，利用贝叶斯公式可以算出由某一个原因Ai(i=1~n)所引起的可能性有多大。

如果能找到某个Ai，使得P(Ai|B)最大，则Ai就是引起现象B的原因。

生活中经常会遇到这样的情况，事件A 已发生,我们需要判断引起A 发生的“原因”这就需要用到贝叶斯公式来判断引起A 发生的“原因”的概率。

贝叶斯决策就是在不完全情报下，对部分未知的状态用主观概率估计，然后用贝叶斯公式对发生概率进行修正，最后再利用期望值和修正概率做出最优决策。

贝叶斯公式在医疗诊断上的应用

例1、某地区肝癌的发病率为0.0004，先用甲胎蛋白法进行普查。医学研究表明，化验结果是存在错误的。

已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没有患肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性（无病）。

现某人的检查结果呈阳性，问他真患肝癌的概率是多少？

解：记B事件“被检查者患有肝癌”， A为事件“检查结果为阳性”，有题设知

P(B)=0.0004 P(B')=0.9996

P(A/B)=0.99 P(A/B')=0.001

我们现在的目的是求P(B|A)，由贝叶斯公式得

这表明，在检查结果呈阳性的人中，真患肝癌的人不到30%。这个结果可能会使人吃惊，但仔细分析一下就可以理解了。因为肝癌发病率很低，在10000人中约有四人，而约有9996人不患肝癌。

对10000个人中，用甲胎蛋白法进行检查，按其错检的概率可知，9996个不患肝癌者中约有9996*0.001=9.996个呈阳性。另外四个真患肝癌者的检查报告中约有4*0.99=3.96个呈阳性，仅从13.956个呈阳性者中看出，真患肝癌的3.96人约占28.4%。

进一步降低错检的概率是提高检验精度的关键，在实际中由于技术和操作等种种原因，降低错检的概率有时很困难的。

所以在实际中，常采用复查的方法来减少错误率。或用另一些简单易行的辅助方法先进行初查，排除了大量明显不是肝癌的人后，再用甲胎蛋白法对被怀疑的对象进行检查，此时被怀疑的对象群体中，肝癌的发病率已大大提高了。

譬如，对首次检查得的人群再进行复查，此时P(B)=0.284，这时再用贝叶斯公式计算得

这就大大提高了甲胎蛋白法的准确率了。

贝叶斯公式在概率推理中的应用

例2、有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4，而他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机迟到的概率分别是0.25，0.3，0.1，0，实际上他是迟到了，推测他坐那种交通工具来的可能性大。

解：

设：

A1{坐火车来}

A2{坐船来}

A3{坐汽车来}

A4{坐飞机来}

B{迟到}

则：

P(A1)=0.3

P(A2)=0.2

P(A3)=0.1

P(A4)=0.4

P(B/A1)=0.25

P(B/A2)=0.3

P(B/A3)=0.1

P(B/A4)=0

由贝叶斯公式分别可以算得

比较以上四个概率值，可见他坐火车和坐船的概率大，坐汽车的可能性很小，且不可能是坐飞机过来的。

评注：此例子运用了四次贝叶斯公式，用所求出的概率判断某人迟到了，选择了何种交通工具的可能性最大。由果索因,果是某人迟到了，因是某人选择了那种交通工具。

贝叶斯公式在工厂产品检查中的应用

例3、某厂生产的产品次品率为0.1%，但是没有适当的仪器进行检验，有人声称发明一种仪器可以用来检验，误判的概率仅为5%。试问厂长能否采用该人所发明的仪器？

分析：“5%的误判率”给检验带来怎样的可信度，这是厂长决策的依据，即弄清“被检验出的正(或次)品中实际正(或次)品率”.

解：设事件A表示“客观的次品”，事件B表示“经检验判为次品的产品”，由题意知：

P(A)=0.001 P(A')=0.999

P(B|A)=0.95 P(B|A')=0.05

由贝叶斯公式可计算“被检验出的次品中实际次品率”为：

同理，“被检验出的正品中实际正品率”为：

由P(A|B)=0.018664可知，如果产品的成本较高，厂长就不能采用这种仪器，因为被仪器判为次品的产品中实际上有98%以上的是正品，这样导致损耗过高.

同时，我们也注意到该仪器对正品的检验还是相当精确的，若检验对产品没有破坏作用，倒是可以在“被认定次品”的产品中反复检验，挑出“假次品”，这就降低了损耗，又保证了正品具有较高的可信度。

贝叶斯公式的推广

当试验的随机过程不少于两个的时候，在影响目标事件的每一个试验过程中分别建立完备事件组，贝叶斯公式就可以进一步推广.

贝叶斯公式推广定理在摸球模型中的应用

例4、已知甲、乙两个口袋中各装有3个白球和5个黑球.现从甲袋中任取1个球然后放人乙袋中，再从乙袋中任取1个球再放回到甲袋中，最后从甲袋中取出1个球.

试问:

(1) 已知最后从甲袋中取出的是1个黑球，则第一次从甲袋 取出的也是黑球的概率;

(2) 已知最后从甲袋中取出的是1个黑球，则第二次从乙袋中取出的也是黑球的概率;

(3) 已知最后从甲袋中取出的是1个黑球，则第一次和第二次取出的都是黑球的概率。

所以：

(1) 已知最后从甲袋中取出的是1个黑球，则第一次从甲袋 取出的也是黑球的概率为7/12;

(2) 已知最后从甲袋中取出的是1个黑球，则第二次从乙袋中取出的也是黑球的概率为2/3；

(3) 已知最后从甲袋中取出的是1个黑球，则第一次和第二次取出的都是黑球的概率为2/15。