Leetcode No.153 寻找旋转排序数组中的最小值（二分法）

一、题目描述

已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，经由 1 到 n 次 旋转 后，得到输入数组。例如，原数组 nums = [0,1,2,4,5,6,7] 在变化后可能得到： 若旋转 4 次，则可以得到 [4,5,6,7,0,1,2] 若旋转 7 次，则可以得到 [0,1,2,4,5,6,7] 注意，数组 [a[0], a[1], a[2], ..., a[n-1]] 旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], a[2], ..., a[n-2]] 。

给你一个元素值 互不相同 的数组 nums ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的 最小元素 。

示例 1：
 输入：nums = [3,4,5,1,2]
 输出：1
 解释：原数组为 [1,2,3,4,5] ，旋转 3 次得到输入数组。
示例 2：
 输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2]
 输出：0
 解释：原数组为 [0,1,2,4,5,6,7] ，旋转 4 次得到输入数组。
示例 3：
 输入：nums = [11,13,15,17]
 输出：11
 解释：原数组为 [11,13,15,17] ，旋转 4 次得到输入数组。
提示：
 n == nums.length
 1 <= n <= 5000
 -5000 <= nums[i] <= 5000
 nums 中的所有整数 互不相同
 nums 原来是一个升序排序的数组，并进行了 1 至 n 次旋转

二、解题思路

一个不包含重复元素的升序数组在经过旋转之后，可以得到下面可视化的折线图：

其中横轴表示数组元素的下标，纵轴表示数组元素的值。图中标出了最小值的位置，是我们需要查找的目标。

我们考虑数组中的最后一个元素 x：在最小值右侧的元素（不包括最后一个元素本身），它们的值一定都严格小于 x；而在最小值左侧的元素，它们的值一定都严格大于 x。

fig1

暴力破解

如果没有旋转，则第一个元素是最小值

如果有旋转，则遍历数组，当前元素小于前一个元素，则当前元素是最小值

public class Solution {
    public int findMin(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        for(int i=0;i<len-1;i++) {
            if(nums[i] > nums[i+1]) {
                return nums[i+1];
            }
        }
        return nums[0];
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(n)

空间复杂度：O(1)

二分查找

在二分查找的每一步中，左边界为 low，右边界为high，区间的中点为pivot，最小值就在该区间内。我们将中轴元素 nums[pivot] 与右边界元素 nums[high] 进行比较，可能会有以下的三种情况：

第一种情况是 nums[pivot]<nums[high]。如下图所示，这说明nums[pivot] 是最小值右侧的元素，因此我们可以忽略二分查找区间的右半部分。

fig2

第二种情况是 nums[pivot]>nums[high]。如下图所示，这说明nums[pivot] 是最小值左侧的元素，因此我们可以忽略二分查找区间的左半部分。

fig3

由于数组不包含重复元素，并且只要当前的区间长度不为 1，pivot 就不会与 high 重合；而如果当前的区间长度为 1，这说明我们已经可以结束二分查找了。因此不会存在nums[pivot]=nums[high] 的情况。

当二分查找结束时，我们就得到了最小值所在的位置。

class Solution {
    public int findMin(int[] nums) {
        int low = 0;
        int high = nums.length - 1;
        while (low < high) {
            int pivot = low + (high - low) / 2;
            if (nums[pivot] < nums[high]) {
                high = pivot;
            } else {
                low = pivot + 1;
            }
        }
        return nums[low];
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：时间复杂度为 O(logn)，其中 n 是数组 nums 的长度。在二分查找的过程中，每一步会忽略一半的区间，因此时间复杂度为O(logn)。

空间复杂度：O(1)。