组合优化(二):换手约束下的最优模型
接着上一篇写，上篇结尾提到的一个点感兴趣的童鞋很多，就是信息分成快慢两期之后，怎么样进行合成。这边我列一个书里面的小例子供大家参考吧，学习思想。
01
移动平均和自相关性
上次有提到一个自相关性的公式，直接截图了
这里上次写的比较简洁，可以再仔细观察一下，合成因子的自相关性表达式里，分子上，包括两个因子的自相关性、两个因子的跨期互相关性，分母上位两个因子的同期互相关性。也就是说，两个单因子同期的互相关性越低，合成因子的自相关性越强，跨期的互相关性越高，合成因子的自相关性越高。你品，你细品。
上次也提到，moving average可以增加自相关性，具体能加到什么程度呢，假设有M个因子，每个都做L期的移动平均。
看上去很复杂， 书上给了一个简单例子，M=2,L=1
这种情况下，计算合成的Fc的自相关性，这里把从第t-1期到第t+1期，单因子F1、F2的相关性矩阵定义位C，主要是表达方便
分别取C的左上、右上的4x4矩阵，记为C4,D4
可以推导出合成因子的协方差、方差表达式如下
这里
从而可以推出
这个式子非常重要，对后文。那么如果是多因子多滞后期的情况，也可以用类似的方式进行推导
02
Optimal Alpha Model Under Turnover Constraints
有了上面自相关性的表达式后，可以推导出最优的alpha模型。也就是决定上面的因子权重v要怎么给。从逻辑上分析，对慢因子，他的滞后期信息量也很高，可以给较高的权重，对快因子，滞后期就免了。而我们最常用的等权的方式，实际上是只用了所有因子当期的值来赋权，滞后期没有给权重，这肯定不是最优的。
接下来给出了一个在约束换手条件下的最优模型
优化目标是最大化因子的ICIR，约束条件是控制因子的自相关性，控制自相关性实际上就是约束换手，之前提过换手和自相关性的关系式，推导见上一篇
公式就是这些，看上去有些抽象，举个例子
两个因子，第一个因子的9-1的动量因子记为PM，高IR但也高换手，衰减快，另一个是EP因子，低IR但也低换手，因子IC、ICIR衰减情况如下图
计算两个因子及滞后项的IC相关性矩阵，特征和刚才提到的类似
记下来求解因子的权重，模型唯一未知的参数是约束条件里的自相关性，这里从0.85-0.97进行遍历，对结果进行分析
信息量是比较大的，细细品，列几个点
- 随着自相关性约束升高，动量的权重在下降，EP的权重在上升，当自相关性高到一定程度后，当期权重就不会再增加了，滞后期的权重会上升
- 扣费后的收益，和自相关性的关系是抛物线，先升后降，费率越高，最优点对应的自相关性越高，这也符合常理，交易成本升高以后，最优的交易频率肯定会下降，这也要求因子的自相关性要升高
- 随着自相关性要求升高，换手确实是下降的，但IR提升不明显，而且很快快速下降，所以感觉上参数比较敏感
最后总结一下
首先，前面两个因子合成的最优化模型看上去有一些道理，但细想了一下，要自己做还是比较复杂的，自相关性的推导，即使是2个因子，文章里实际上只有滞后两期的，如果再多加几期，或者多加几个因子，这个表达式不那么好算，所以可能还不如直接一根均线来的好，可能就只赢在一手逻辑清晰。
其次，所有的推导都是基于多空假设的，国内纯多头的约束下，改善有多少，还需要再测试。