一道北大强基题背后的故事（七）——特征根公式的来龙去脉
一道北大强基题背后的故事（七）——特征根公式的来龙去脉
前面我们已经从北大强基题出发，聊了题解和出题思路，并从好题切入，剖析了我对数学之美，数学解题之美，数学分析能力的本质和训练方法的理论。相关内容请戳：
一道北大强基题背后的故事（五）——解数学题的数学模型是什么？
最后一篇，我们回到这道题考察的基础知识，特征根公式，来看看这个公式里的数学之美。
特征根公式内容和联想
当年在奥数书上看到它，然后用上后发现数列的答题几乎都是这个套路的时候，当时那种兴奋完全不亚于孩子获得了它最想要的变形金刚吧。可是当年功力的我也并没有真的去求甚解，去推导一番到底是怎么来的，背后的数学背景为何。不妨先写出当年那个结论，再用高等数学的观点审视后证明一番。
对形如a_(n + 2) = Aa_(n + 1) + Ba_n递推关系的数列，可以写出特征方程：X ^ 2 = AX + B，求得其两个根x1, 2，若x1 != x2，a_n = C1x1 ^ n + C2x2 ^ n；若x1 = x2，a_n = (C1 + C2n)x1 ^ n，其中C1, 2由数列的前两项带入后解二元一次方程后确定。
看到这个形式，我立马联想起了高等数学中关于n阶常系数（齐次）线性微分方程求解的结论。不过那里之所以可以求对应特征方程，是因为e ^ x这个基础函数形式具有的求导不变性，和链式法则，导数先行的性质决定的对e ^ ax求导的次数n，会变成前面的a项系数的次幂n。因此对于n阶常系数齐次微分方程而言，是可以通过特征方程转化为方程求解问题的。而对于重根的解决，恰好也对应e ^ ax前系数多项式的系数为(重数 - 1)。
以上是定义在连续的实数空间的微分方程，而我们当前要解决的数列，应该离散空间的。实际上，在离散系统中我们一般用yn表示系统的描述函数，n in N，而假设yn = xi ^ n，带入对应的离散常系数齐次n阶线性微分方程中后，后面的项天然就比前者要高对应次方。由此特征方程得到数值解，后面的步骤就和连续的情况大同小异了。这里自然也可以扩展到n阶和非齐次的情况，要加上特解才是完整的解。
可见，离散和连续情况只是在特征根方程的转化求解和应用上有相似之处，但二者的推导原理各自独立，连续的源自指数函数导数性质，离散的来源于幂函数本身的性质，和差分微分的对应没有直接关系。
所以，我们高中学了半天的神器特征根公式，不过是离散系统课程里最基本的公式罢了，而且是二次常系数，齐次的特殊情况。所以那时候的学习内容的深度广度都是很欠缺的，维度有个熟练度而已。就是典型的没有理解数学之美，而只学会了套路的弯路，这既有见识有限的原因，也怪题目水平不足啊。
解题学习特征根公式初等证明
我的学习逻辑里，向来都有这一步，从现象和应用出发倒推，直到证明联想到一个比较深的，基础性的常识和定理才算完，最好到公理。不功利求快，但求心安的那种奢侈的追寻。
好了，那从高中以前的视角，到底怎么证明和理解这个公式的来龙去脉呢？
我们仍然需要回顾到最基础的知识，等差等比数列。
我们对形如a_(n + 1) = Aa_n + B这种递推关系求通项公式已经了然于胸了，轻而易举通过所谓配方法就可以配出a_(n + 1) + C = A(a_n + C)，得C = B / (A - 1)，而当A = 1时，直接就退化为等差数列了，其余时候就可以用上等比数列的通项公式了。
那对于a_(n + 2) = Aa_(n + 1) + Ba_n也是同理，可以写成：
a_(n + 2) - D1a_(n + 1) = D2(a_(n + 1) - D1a_n)，对照原式子，可以得到D1, 2是方程x ^ 2 = Ax + B的两个根。于是：
a_(n + 1) - D1a_n = D2 ^ (n - 1)(a_2 - D1a_1)
a_(n + 1) - D2a_n = D1 ^ (n - 1)(a_2 - D2a_1)
当D1 != D2，两式相减即得，(D2 - D1)a_n = D2 ^ (n - 1)(a_2 - D1a_1) - D1 ^ (n - 1)(a_2 - D2a_1)
观察一些便知，a_n就是D1 ^ n和D2 ^ n两项的函数，其余各项都是已知值，通过前两项解方程就可以确定其系数就结束了。
而D1 = D2时，有a_(n + 1) = D1a_n + D1 ^ (n - 1)(a_2 - D1a_1)，这是一个一阶的地推关系式，但是带有函数部分，是非齐次的，我们要找到这个的特解。这里我之前推导犯了一个错误，仍然取配方了一个r进去，但其实应该是rn才对，不然常数是没法配平的。于是假设r_n = EnD1 ^ n，这其实就是对应非齐次差分方程的特解项了，带入后得E = (a_2 - D1a_1) / D1 ^ 2，故a_(n + 1) - E(n + 1)D1 ^ (n + 1) = D1(a_n - EnD1 ^ n) = D1 ^ n(a_1 - ED1)，有：
a_n = EnD1 ^ n + D1 ^ (n - 1)(a_1 - ED1) = (C1 + C2n)D1 ^ n，其中系数C1, 2通过前两项解方程得到。
可以看到，这里的推导其实就是细致地不断进行化归到熟悉的知识等比数列公式上去，而等比数列的递推公式到通项公式，无非就是迭代或者递归的计算而已，当然其中配方的方法，也需要足够的数感才行，就像是解这个级别的数学题的势一样。但是好在问题简单，有足够多的捷足先登的武器可以快速帮助我们找到答案。有时候，思维的严谨能力和熟练度是相辅相成的，互相兜底以保证我们的思考走在正确的方向上，它们共同构成思维全部。
其实我第一次求也走了弯路，没有想到两式相减，而是在一次套用以后，再套用了一次特征根公式，但是其实这时候条件已经不满足了，因为在本应该是常数的参数项中出现了函数。这也是掌握不扎实导致，根本不是粗心，也没法盯着公式背很多遍就能学会这些特征的判断记忆，还真的得通过实战去挖掘和思考，才能在短时间内有那种所谓的感觉。
好了，到这里，整个系列就全部结束了，一开始我也没有想到过会写出这么多内容，不过，既然是自由思考和写作，那就抱着几乎不计成本的思考去把能想到的都想到，思考到最底层的逻辑，再反馈回来得到最佳的呈现给你好了。希望这个系列能对你的数学学习有所启发，下期见！点击阅读原文，往期精彩不错过！